Chi è nato lo stesso giorno in campo?

[EdmondDantès]

Immaginate un campo di calcio dove ci sono 23 persone, che sono i 22 giocatori più l'arbitro. Qual è la probabilità che due di queste 23 persone abbiano il compleanno in comune?
[Risposta: 50.73%]
[Fonte: Simon Singh, "L'ultimo teorema di Fermat"]

Premetto che non sono molto ferrato in Probabilità, ma chiedo il vostro aiuto per capire la spiegazione di questo fatto (apparentemente impossibile da credere).
Quello che viene detto è di considerare tutte le possibili coppie delle 23 persone, che sono in tutto \(\displaystyle 22+21+20+...+3+2+1=(22^2+22)/2=253 \) e di confrontarle con il numero di giorni dell'anno, che sono 356.
Ma se la probabilità che una qualsiasi di queste due coppie abbia il compleanno in comune è (secondo me) pari a \(\displaystyle \frac{1}{365^2}=0.7506...\cdot10^{-5} \), non dovrei semplicemente moltiplicare per 253? Con questi conti si otterrebbe una probabilità pari a 0.0019..., che mi sembrerebbe più plausibile...
Dove sbaglio?
Grazie

[kobeilprofeta]

Nono. Tu devi calcolare la complementare:
Qual è la probabilità che siano nati tutti giorni diversi?
$p=365/365*364/365*363/365...=frac{365!}{342!}*frac{1}{365^23}$...
ecco ora quella cercata è data da $1-p$

[kobeilprofeta]

Non so se hai capito il ragionamento: il primo puó nascere quando vuole (365/365), il secondo non può nascere quando è nato il primo (364/365), il terzo non puó nè quando è nato il primo, nè quando è nato il secondo (363/365), etc... In questo modo calcoli la probabilità p che siano nati tutti e 23 in giorni diversi; poi se non sono nati tutti in giorni diversi, significa che almeno due sono nati lo stesso giorno! Da cui 1-p (la complementare).

[EdmondDantès]

Ok, grazie, ho capito il tuo ragionamento. E infatti adesso viene una probabilità di 50.73% .

Ma se invece si volesse calcolare direttamente (cioè non tramite il complementare) come si dovrebbe fare? Lo chiedo perché nel libro citato calcola il numero di coppie possibili, cioè 253, quindi credo che con questo numero si debba pur far qualcosa...

[superpippone]

Per kobe.
Premetto che al momento non so impostare il problema.
Però non ritengo che la tua risposta sia corretta.
Tu hai trovato la possibilità che tutti e 23 siano nati in date diverse.
E la probabilità inversa significa che ce ne sono "almeno" 2 col compleanno in comune.
Per cui potrebbero essere 2,3,4,....23. Od anche più "coppie". Od anche una "terna" ed una "quaterna". Etc.
Mentre la domanda era "Qual è la probabilità che 2 di queste persone abbiano il compleanno in comune?"
Sono due cose diverse.
Secondo la mia interpretazione, significa "esattamente" una coppia. E gli altri 21 in giorni diversi (sia tra loro, che da quello della coppia).
Se poi la domanda è mal formulata, hai ragione tu.

[kobeilprofeta]

@superpippone
Potresti aver ragione... In effetti non c'è scritto "almeno"...
Io ho risposto cosí perchè conosco questo problema (è famoso, è il cosidetto paradosso del compleanno. E sembra che anche i numeri (i risultati) stiano dalla mia.
Peró, ripeto, potresti aver ragione tu. ... Anche se il ragazzo (?) dice che il risultato numerico corrisponde alla soluzione del libro...

[Mario75]

Ciao a tutti,

Che relazione c'è, qualora ci fosse, tra il 50,73% di probabilità che almeno 2 persone festeggino stesso compleanno su un campione di 23 persone prese a caso e il 69,31% che deriva dai 253 possibili abbinamenti di date diviso 365 (immagino che queste 365 siano n. coppie di possibili date).... Sempre che io abbia ben interpretato il senso del suddetto rapporto.

Grazie a tutti
Mario

[nino_]

Con $23$ persone i casi delle nascite giornaliere possibili sono $365^23 = 8,56517*10^58$

I casi con nessun compleanno in comune sono $365*364*363*...*343 = 4,22008*10^58$ prob. = $0,492703$
Quelli con almeno un compleanno in comune sono: $8,56517*10^58 - 4,22008*10^58 = 4,34909*10^58$ prob. = $0,507297$

I casi con esattamente 2 persone con il compleanno in comune sono: $C(23,2)*365*364*363*...*344 = 3,11277*10^58$ prob. = $0,363422$
Quindi, i casi con più di un compleanno in comune sono: $4,34909*10^58 - 3,11277*10^58 = 1,23231*10^58$ prob. = $0,14387$

Ciao
Nino

[Mario75]

Grazie nino, i conti tornano giusti e rispondono al quesito

Non ho però capito il ruolo che nel calcolo possono o debbano avere le 253 coppie che il testo riporta.

In altre parole come possiamo sfruttare ai fini della soluzione queste 253 diverse coppie di date di compleanno?

Grazie

[nino_]

Non ho però capito il ruolo che nel calcolo possono o debbano avere le 253 coppie che il testo riporta.

In altre parole come possiamo sfruttare ai fini della soluzione queste 253 diverse coppie di date di compleanno?

Grazie

Scusa, non sono stato chiaro.

Le 253 coppie sono quello che io ho indicato $C(23,2)$, cioè le coppie possibili con 23 numeri ($(23*22)/2$)
che sono necessarie per calcolare la probabilità di avere esattamente 2 persone (sulle 23) con il compleanno in comune, il cui risultato è $0,363422$ (mentre c'è un $0,14387$ di probabilità di avere più di 2 persone che hanno il compleanno in comune.

Nino