Esercizio distribuzione di Poisson

[Patras]

Ciao a tutti! Potete per favore aiutarmi con questo esercizio?
Sia $N_t$ il numero di richieste di servizio in arrivo ad un server in $t$ secondi. Si assuma che $N_t ∼ P(\lambda t)$, dove $\lambda >0$ è il numero medio di richieste al secondo.

Sia $T_1$ l’istante di arrivo della prima richiesta. Si usi l’uguaglianza $[T_1 > t] = [N_t = 0]$, valida per ogni $t > 0$ , per dimostrare che la densità $f_{T_1}(t)$ è esponenziale $ Exp( \lambda ) $.

Io ho pensato che dalla definizione di sopra il numero di richieste per un certo istante è la variabile di Poisson di media $\lambda t$. Scrivendo la distribuzione: $ \frac{(\lambda t)^k e^{-\lambda t}}{k!}$, dove $k$ è il numero di richieste,
allora per $k=1$ ho $ \lambda t e^{-\lambda t}$ e poi...? cioè non ho ancora una distribuzione esponenziale. Forse tutto questo ha a che fare con i processi aleatori ma non li ho ancora capiti fino in fondo, grazie per l'aiuto

[tommik]

$P (T_1>t) $ significa che il tempo del primo arrivo del processo è maggiore di t. In altri termini nell'intervallo di tempo t vi sono zero arrivi . Quindi utilizzando la poisson trovi che

$P (T_1>t)=((lambdat)^0 e^(-lambdat))/(0!)=e^(-lambdat) $

Da cui subito

$P (T_1 <=t)=F_(T_1) (t)=1-e^(-lambdat) $

e derivando ottieni

$f_(T_1) (t)=lambda e^(-lambdat) $

a questo punto, data l'indipendenza degli arrivi, è immediato osservare che $T_m$ segue una legge $Gamma(n, lambda)$

[Patras]

Grazie mille!