Esercizio distribuzione di Pascal

[tommik]

Ciao a tutti! Spero possiate aiutarmi a risolvere questo problema.
Abbiamo una moneta truccata tale che la probabilità che esca testa è $P(T)= (1)/(3)$ e la probabilità che esca croce è $P(C)= (2)/(3)$.
Allora la probabilità che in $N$ lanci esca sempre testa è pari a $((1)/(3))^N$.
Fin qui tutto chiaro.
Ora il testo dice che dato un certo naturale $M$ , il numero di lanci necessari per avere $M$ croci con "buona" probabilità è pari a $\frac{3^N}{3^N - 1}M$. Da dove esce questo ultimo valore? Per "buona" probabilità purtroppo non so dirvi nulla, non vengono date altre indicazioni.
Io ho notato che $\frac{3^N}{3^N - 1}$ corrisponde al reciproco della probabilità che in $N$ lanci non esca mai la combinazione con tutte testa ma non riesco ad andare oltre.

[tommik]

Se il libro dice esattamente ciò che tu hai postato senza altre assunzioni, si può dimostrare con una certa facilità che dice una bella corbelleria! (siamo sicuri che è un libro di Statistica, e se sì, che libro è?)

Il numero atteso di lanci per avere M successi è $M/p=3/2 M $ e, data la forma della distribuzione dei lanci (che in fin dei conti è una binomiale), i valori con buona probabilità di uscita sono sicuramente intorno al valore atteso.

Essendo $P(C>0)=1-1/3^N$ lui calcola il numero di lanci come $M/(P (C>0)) $, che oltretutto vale sempre praticamente $M$

In alcuni casi (con N piccolo) i due risultati non sono molto diversi e vanno bene entrambi (dato che valori di buona probabilità ce ne sono diversi, non uno solo....) ma al crescere di N il risultato del libro è del tutto errato.

Vediamo dunque un controesempio numerico. Supponiamo che "il dato numero naturale" sia $M=10$, lanciando la moneta truccata in modo che $P(C)=2/3$ otteniamo la seguente distribuzione di Pascal

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

come vedi i valori di buona probabilità (quelli con le masse di probabilità più alta) si aggirano intorno al valore atteso che ho calcolato io....e non certo al valore che propone il tuo libro


saluti

[CarmineF]

Non so. Penso che andrò dal professore per capirci qualcosa.
Grazie mille per il tuo aiuto!