\(\displaystyle \bar{k} = \sum_{k=0}^{n-1} k p_{k} = \sum_{k=1}^{n-1} k \binom{n-1}{k} p^{k} (1-p)^{n-1-k}
\\= \sum_{k=1}^{n-1} (n-1) \binom{n-2}{k-1} p^{k} (1-p)^{n-1-k}
\\=(n-1)p \sum_{k=0}^{n-2} \binom{n-2}{k} p^{k} (1-p)^{n-2-k}
\\= p(n-1)\)
(p è la prob. che ci sia un arco tra una coppia di nodi)
Pur riconoscendo che è banale, c'è un dettaglio che non mi quadra.
Spiego quel che ho capito riga per riga:
#1 sostituisco \(\displaystyle p \) con la prob. che un nodo abbia grado k
#2 dal coefficiente binomiale 'estraggo' un \(\displaystyle (n-1) \)
#3 porto fuori dalla sommatoria \(\displaystyle (n-1) \) e decremento l'estremo della sommatoria a \(\displaystyle n-2 \)
questo passaggio non mi è chiaro: decrementando l'indice della sommatoria dovrei portare fuori qualcosa come:
\(\displaystyle \binom{n-2}{n-2} p^{n-2} (1-p)^{n-2-n-2} = p^{n-2} \)
giusto? Invece mi trovo solo un \(\displaystyle p \)
Confermate il ragionamento dei passaggi precedenti? E nel #3 dove sbaglio? Notate poi che anche il \(\displaystyle k \) della sommatoria che cambia da 0 a 1 e poi ancora a 0
Poi, se possibile, avrei un dubbio ancora più banale (ma i forum esistono anche per questo giusto?
) al #3 la sommatoria si annulla per il binomio di Newton, ma perché non avrei potuto annullarla al primo passaggio? Il risultato finale poi sarebbe stato \(\displaystyle n-1 \) che in effetti ha poco senso.(Essendo dispense può essere che ci sia qualche errore..)
Un riferimento utile
http://www.cs.cornell.edu/courses/cs485 ... cture1.pdf
