Esercizio media e densità condizionata

[bellrodo]

Ciao, mi piacerebbe capire se inizio a ragionare nel modo giusto

La precipitazione piovosa (in mm) in un certo periodo è rappresentata da una v.a. $T$ distribuita secondo una $\Gamma(30,5)$. Se $T=t$, il numero di ombrelli $N$ venduti da un certo negozio segue una Poisson di parametro $4t$.

$a)$ Calcolare la densità di $N$;
$b)$ Calcolare $E(N)$.

Allora:

$T~\Gamma(30,5) $ ; $ N|T=t~poisson(4t)$

$a) $ $ f_N=\int_{-oo}^{+oo}f_{T,N}dt = \int_{-oo}^{+oo} f_{N|T}*f_T dt=\int_{0}^{+oo} (5^{30} * t^{29} * e^{-5t})/(\Gamma(30)) * e^{-4t} (4t^n)/(n!)dt$

Arrivato a questo punto cerco di ottenere una $\Gamma$ dentro l'integrale in modo che sia $=1$ e successivamente mi ricavo la densità $f_N$.
Non sono sicuro di aver scritto bene le due densità dentro l'integrale e mi piacerebbe capire questa cosa per evitare di portarmi avanti errori banali

$b) $ $ E(N)=E[E(N|T)]=E[4t]=4E[t]=4*6=24$

[tommik]

sì è giusto, tranne un refuso nella poisson dentro all'integrale; è $(4t)^n$ e non $ 4t^n$

la media è ok, vedo che stai imparando come trattare i valori attesi condizionati....



EDIT: non ci vuole molto per calcolare la densità (che tra l'altro è una distribuzione nota...)


$f_N(n)=((29+n),(n))(5/9)^30(4/9)^n$

$n=0,1,2,3,....$

[bellrodo]

Non ho capito, come hai fatto ad arrivare a quella densità?

EDIT: non ci vuole molto per calcolare la densità....


$ f_N(n)=((29+n),(n))(5/9)^30(4/9)^n $

$ n=0,1,2,3,.... $

[tommik]

Esattamente come hai spiegato tu nel tuo precedente topic... riconducendosi al nucleo di una gamma che, nel caso in esame è il seguente

$t^(29+n)e^(-9t)=t^[(30+n)-1]e^(-9t)$

moltiplica e dividi per ciò che serve, porta fuori dall'integrale ciò che non serve, semplifica un po' ed hai finito.


Dai è un buon esercizio....ovviamente se proprio non riesci intervengo

PS: sono tutti esercizi davvero interessanti, che cosa studi?

[bellrodo]

Ciao tommik, scusa se rispondo così in ritardo ma proprio ieri ho sostenuto l'esame Passato con 26

Volevo ringraziarti, per l'n-esima volta, per l'aiuto che mi hai dato in questo topic e nei precedenti! Grazie grazie grazie!

Comunque:

PS: sono tutti esercizi davvero interessanti, che cosa studi?

Studio ingegneria dell'informazione all'università di L'Aquila e stavo preparando l'esame di calcolo delle probabilità.

[mobley]

Riprendo questo post che @tommik gentilmente mi ha segnalato (e che stranamente ho quasi svolto correttamente).
So che

$\mathbb(P)(N=i|T=t)=(\mathbb(P)((N=i,T=t)))/(\mathbb(P)(T=t))rArr \mathbb(P)(T=t)\mathbb(P)(N=i|T=t)$

$rArr \int_(0)^(+\infty)(5^30)/(\Gamma(30))t^29e^(-5t)xx (e^(-4t)(4t)^i)/(i!)=(5^30)/(\Gamma(30))\int_(0)^(+\infty)t^29e^(-4t)e^(-t)xx (e^(-4t)(4t)^i)/(i!)$

Pongo $4t=x$ e moltiplico e divido per $4/9$:

$=(5^30)/(\Gamma(30))\int_(0)^(+\infty)(x/4)^29e^(-x)e^(-x/4)(e^(-x)x^i)/(i!)\cdot 1/4dx=(5^30)/(\Gamma(30))\cdot 1/(4^30)\cdot 1/(i!)\cdot 4/9\int_(0)^(+\infty)9/4x^(29+i)e^(-9/4x)dx$

Ora so che:
- $\int_(0)^(+\infty)9/4x^(29+i)e^(-9/4x)dx=\Gamma(30+i)=(29+i)!$
- $\Gamma(30)=29! =(29+i-i)!$
Allora ottengo

$=((29+i)!)/(i!(29!))(5/4)^30(4/9)=( (29+i), (i) )(5/4)^30(4/9) $

Come ottieni quel $9$ al denominatore e quell'$n$ al numeratore?

EDIT: Prontamente editato. Mi ero autoimposto di non guardare la risposta. In ogni caso per risolverlo ho posto $4t=x$, quindi non ha inciso sul risultato.

[tommik]

sì è giusto, tranne un refuso nella poisson dentro all'integrale; è $(4t)^n$ e non $ 4t^n$

stesso errore fatto dall'utente originale....EDIT: più altri...

sono sempre gli stessi due passaggi....


$int_(0)^(+oo) 5^30/(Gamma(30))t^(30-1)e^(-9t)(4^nt^n)/(n!) dt=$

$=(4^n 5^30 Gamma(30+n))/(n! Gamma(30) 9^(30+n) )xx int_(0)^(+oo)f(t)dt=(4^n 5^30 Gamma(30+n))/(n! Gamma(30) 9^(30+n) )$

Dato che dentro all'integrale ora c'è una densità Gamma che, integrata su tutto il dominio, fa uno.

semplifchi....ottieni dunque una distribuzione nota che conta...?

[mobley]

Beh, l'esercizio era svolto correttamente solo che anziché porre $9t=x$ ho spezzato l'$e^(-5t)=e^(-4t)e^(-t)$ e ho posto $4t=x$. Credevo che il risultato potesse venire ugualmente ma a quanto pare non è così.

....ottieni dunque una distribuzione nota che conta...?

Una binomiale di parametri $(59,30)$

[tommik]

Risulta correttamente anche come volevi fare tu...ma occorre fare bene tutti i conti ed i passaggi per arrivare al risultato si moltiplicano....

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$5^30/(Gamma(30))int_0^(+oo)t^29e^(-9t)(4t)^n/(n!)dt$

pongo $4t=x$, sostituisco ed ottengo


$5^30/(Gamma(30))int_0^(+oo) x^29/4^30 e^(-9/4 x)x^n/(n!)dx=$

$=(5^30Gamma(30+n))/(4^30Gamma(30)n!)(4/9)^(30+n)int_0^(+oo)(9/4)^(30+n)/(Gamma(30+n))x^[(30+n)-1]e^(-9/4 x)dx =$

$=(5/9)^30(4/9)^n((29+n),(n))$

$mathbb{P}[N=n]=((29+n),(n))(4/9)^n(5/9)^30$

$n=0,1,2,...oo$

non mi pare proprio una binomiale

Una binomiale di parametri $(59,30)$

hai inventato una nuova binomiale....con un parametro $p>1$

la distribuzione è questa, basta scrivere $29+n=30+n-1$ ed è una binomiale negativa, una distribuzione discreta che conta il numero di fallimenti necessari ad avere 30 successi