Ah certo! Si, ho capito il procedimento e compreso meglio l'applicazione della teoria. In questi giorni mi sto esercitando sulla Normale approfondendo l'argomento e la likelihood prima di andare oltre. E in questi alcune tipologie di esercizi devo ancora interpretarli nel modo corretto.
Questa per dire è un confronto della MSE per poter valutare quale estimatore sia migliore rispetto ad un altro:
Consider a sample of size \(\displaystyle n=8\) from the \(\displaystyle Uniform(θ,θ+4)\) distribution where \(\displaystyle θ>0\).
Consider two estimators of θ:\(\displaystyle \)
\(\displaystyle T_1=\overline{X} \) \(\displaystyle T_2=5 \overline{X}\)
(where \(\displaystyle \overline{X} \) denotes the sample mean). By comparing the corresponding MSEs, establish whether \(\displaystyle T_1\) is better than \(\displaystyle T_2\)to estimate \(\displaystyle θ\).
If \(\displaystyle X∼Uniform(a,b) \), allora \(\displaystyle Var(X)=(b−a)^2/12\) e \(\displaystyle E(X)=(a+b)/2 \)
Quindi con \(\displaystyle U(θ,θ+4)\)
\(\displaystyle Var(x)=(θ+4-θ)^2/12=4/3\)
E
\(\displaystyle Var(T1)= (4/3)/8=1/6\)
E ugualmente
Per \(\displaystyle E(x)=(θ+θ+4)/2=θ+2\)
\(\displaystyle E((T1−θ)^2)=Var(T1−θ)+E(T1−θ)^2\)
\(\displaystyle = 1/6 + ((θ+2)-θ)^2\)
\(\displaystyle = 25/6\)
Che risulta essere il risultato del primo estimatore mentre il secondo essendo 5 volte la media si può concludere che tra i due è migliore \(\displaystyle T_1 \).