Consistenza di un SMV

[Walter97lor]

Ciao a tutti, vi propongo questo esercizio in quanto non riesco a svolgerlo. La teoria alla base credo ci sia, trovo difficoltà nell'applicazione vera e propria:

Sia $ Y $ v. aleatoria con realizzazioni i.i.d. $ yi $ con distribuzione continua:
$ f(y;vartheta) = vartheta (1-y)^(vartheta-1), vartheta>0, y in (0,1) $

SI calcoli l'SMV e si dica se è consistente.
Lo stimatore mi risulta:

$ hat(vartheta) = (-n)/(sum_(i = 1)^(n) log(1-yi) $

Per il calcolo dello stimatore non ho quesiti, è la verifica della consistenza il problema.
Qual'è la tecnica operativa generale? Ho provato ad applicare la legge (debole) dei grandi numeri, capendone l'interpretazione ma senza risultati pratici.
Grazie a chi risponderà.

[tommik]

sì dunque....innanzitutto occorre specificare stimatore di massima verosimiglianza per cosa; per $theta$ o per $g(theta)$.

Posto che il quesito sia trovare $hat(theta)$, per la consistenza, se hai già provato ad utilizzare la legge debole dei grandi numeri senza riuscire a risolvere, esiste una condizione sufficiente; devono valere entrambe le seguenti:

$lim_(n->oo)E(hat(theta))=theta$ $rarr$ non distorsione al limte


$lim_(n->oo)V(hat(theta))=0$ $rarr$ varianza nulla, al limite

A questo punto non ti resta che calcolare media e varianza dello stimatore; per fare ciò ti consiglio di iniziare a calcolare la distribuzione di $W=-log(1-Y)$

Per questa via, con qualche conto¹, trovi che

$E(hat(theta))=n/(n-1)theta$

$V(hat(theta))=(ntheta)^2/((n-1)^2(n-2))$

quindi sì, lo stimatore è consistente²

ti ho suggerito un po' troppo

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Note

1. oppure utilizzando i risultati noti della Gamma inversa ↑
2. oppure potresti usare le proprietà degli stimatori di MV fra cui ce n'è una che dice appunto che tali stimatori sono consistenti ↑

[Walter97lor]

Grazie Tommik per la velocissima risposta. Ho capito il procedimento, ho bisogno di capire però se ciò che sto facendo per calcolare la distribuzione di: $ X = -log(1-Y) $ è corretta. Allora:

$ X = -log(1-Y)rArr e^X = 1/(1-Y) rArr Y= 1-1/e^(X) $

Quindi:

$ P(X<x)=P(Y<1-1/e^(X))= int_(0)^(1-1/e^(x)) vartheta(1-y)^(vartheta-1) dy = -(y-1)^(vartheta) $, che calcolata nei punti:

$ -[(1-e^(-x)-1)^(vartheta)-(-1)^(vartheta)]=(-1)^(vartheta)-(e^(-xvartheta)) $ e derivando rispetto a x ottengo:

$ ((partial)/(partial x))[-(e^(-xvartheta))]=-[e^(-xvartheta)(-vartheta)]= vartheta e^(-varthetax) $, cioè la distribuzione di una esponenziale.

Sostituendo il risultato all'inizio e con procedimenti analoghi mi risulta che la distribuzione dello stimatore è l'inverso della gamma moltiplicato n:

$ hat(vartheta)~Inv. Ga(alpha =n; beta = vartheta) $

Quindi usando la formula della media: $ E[hat(vartheta)]= (nvartheta)/(n-1) $

Infine: $ lim_(n -> +oo ) (nvartheta)/(n-1) = (nvartheta)/(n(1-1/n)) = vartheta $

Analogamente per la Varianza. Io SPERO che sia giusto perchè altrimenti...
Ma specie l'ultima parte del quesito, cioe quando ci si ricava la distribuzione di $ X $ come si formalizza in modo rigoroso che la somma di $ X $ è una variabile Gamma e scrivere che la sua distribuzione è l'inverso di una Gamma moltiplicato n?
Grazie ancora Tommik

[tommik]

Calcoli un po' eccessivi ( e con un errore di segno che si annulla derivando) ma risultato ok.

EDIT:
Per calcolare la distribuzione di $Y=-log(1-X)$ basta invertire la funzione ed osservare che

$f_(Y)(y)=f_(X)(g^(-1)(y))|d/(dy)g^(-1)|=theta(e^(-y))^(theta-1)e^(-y)=thetae^(-thetay)$




Una $exp(theta)=Gamma(1;theta)$ e la somma di n $Gamma(1;theta)$ indipendenti si distribuisce come una $Gamma(n;theta)$. Per dimostrarlo basta usare la funzione generatrice dei momenti

Per calcolare media e varianza dello stimatore, senza passare per la Gamma inversa basta usare la definizione di media e varianza con una distribuzione Gamma

$E[n/Z]=n int_(0)^(oo)1/z theta^n/(Gamma(n))z^(n-1)e^(-ztheta)dz=n/(n-1)theta int_(0)^(oo)theta^(n-1)/(Gamma(n-1))z^((n-1)-1)e^(-ztheta)dz=n/(n-1)theta$

dato che l'integrale è stato ricondotto al nucleo di una distribuzione gamma....

stessa cosa per la varianza: calcoli il momento secondo ecc ecc

Se invece vuoi passare per la gamma inversa dimostrando che, se $X$ si distribuisce come una Gamma allora $Y=1/X$ si distribuisce come una Gamma inversa, devi fare la stessa trasformazione di variabile come nel primo punto e poi utilizzare i risultati noti.... è una scelta equivalente

Comunque bravo... Non era facilissimo