Sia $(X,Y)$ un vettore aleatorio con densita congiunta
$f(x,y)={{:(kxy,xy in [0,2] times [0,3]),(0,text{altrove}):}$
Calcolare il valore di $k$ e stabilire se $X$ e $Y$ sono indipendenti. Calcolare le $P(A|B)$ con $A = {0 < X <
1/2}$ e $B = {0 < Y < 2}$
Calcoliamo $k$ come $\int_{-oo}^{+oo}\int_{-oo}^{+oo}f(x,y)dxdy = 1$
$int_{0}^{3}\int_{0}^{2}kxy = 1$
$9k = 1$
$k = 1/9$
A questo punto, per verificare che $X$ e $Y$ sono indipendenti, calcoliamo le densità marginali:
$f(x)=int_(0)^(3)1/9xydy=1/2x$
$f(y)=int_(0)^(2)1/9xydx=2/9y$
Essendo $f(x)f(y)=f(x,y)$, $X$ e $Y$ sono (stocasticamente) indipendeti.
Adesso viene il dubbio. Come calcolo $P(A|B)$?