Coerenza assegnazione di probabilità

[yankarinRG]

Dati gli eventi $A$, $B$, $C$, $D$, con $B^^C sube A$, $B^^A^c^^D = \emptyset$ e $C$ e $D$ stocasticamente indipendenti, si studi la coerenza della assegnazione $P(A) = P(D) = 0.5$, $P(B) = P(C) = 0.1$, e si determini l’insieme $I$ dei valori di probabilità coerenti per $A ^^ C ^^ D$. Si studi infine l’esistenza di un valore $λ in I$ che renda $A$, $D$ e $C$ stocasticamente indipendenti.

Inizio rappresentando con un diagramma di Venn gli eventi:



Successivamente imposto il sistema:

$\{(c_1+c_2+c_3=P(A)),(c_1+c_4=P(B)),(c_1+c_5=P(C)),(c_2=P(D)),(\sum_{i=1}^6 x_i=1),(x_i >= 0 text( ) i in [0,6]):}$

Dalla quarta riga ottengo $c_2 = 0.5$

$\{(c_1+c_2+c_3=0.5),(c_1+c_4=0.1),(c_1+c_5=0.1),(c_2=0.5),(\sum_{i=1}^6 x_i=1),(x_i >= 0 text( ) i in [0,6]):}$

Sostituendo nella prima riga:

$\{(c_1+0.5+c_3=0.5),(c_1+c_4=0.1),(c_1+c_5=0.1),(c_2=0.5),(\sum_{i=1}^6 x_i=1),(x_i >= 0 text( ) i in [0,6]):}$

Quindi $c_1$ e $c_2 = 0$

L'insieme $I$ è quindi costituito solo da $0$ (e quindi $λ = 0$), possibile?

[tommik]

È sbagliato. Già a prima vista si nota un grave errore: la traccia dice $C$ e $D$ indipendenti... tu li hai disegnati disgiunti e quindi necessariamente non indipendenti, dato che essendo disgiunti vale sicuramente $P(C|D)=0$ anche se $P(C)>0$

[yankarinRG]

Grazie @tommik per avermi fatto notare l'orrore! In effetti non c'era scritto da nessuna parte che $A^^C=\emptyset$ e $A^^B=\emptyset$. Penso di averlo corretto con il diagramma di sotto:

[tommik]

Per il medesimo motivo di prima, non può essere $D sube A$. Infatti dovendo essere $A,C,D$ indipendenti devono essere pure indipendenti AC, AD, e CD, oltre che ACD¹.

Ma se $D sube A$ allora è $P[A|D]=1 !=P[A]=0.5$

Inoltre dal tuo disegno, il costituente $c_2$ coindice sia con l'insieme $AnnCnnD$ che con l'insieme $CnnD$ ma, per ipotesi della traccia, $P(CnnD)=P(C)P(D)=0.05$ mentre l'esercizio consiste proprio nello studiare la coerenza dell'assegnazione dei valori al variare della probabilità di $AnnCnnD$ entro un determinato intervallo $I$

mi pare che così invece possa andare bene:

$A=C_1 uu C_2 uu C_3 rarr P(A)=0.5 $

$D=C_3uu C_4 uu C_5 rarr P(D)=0.5$

$B=C_2uu C_3 uu C_6 rarr P(B)=0.1$

$C=C_2uu C_3 uu C_4 rarr P(C)=0.1$

ho rispettato tutte le consegne della traccia:

$B nn C =C_2 uu C_3 sub A$

$B nn bar(A) nn D =emptyset$

$P(C nn D)=P(C_3)+P(C_4)=0.05$

ed inoltre

$AnnC=C_2 uu C_3$

$AnnD=C_3$

$CnnD=C_3 uu C_4$

$AnnCnnD=C_3$




E' abbastanza evidente che l'intervallo in cui deve ricadere $P(AnnCnnD)=P(C_3)$ è $I in [0.025;0.05]$

infatti dai dati abbiamo che

${{: ( P(C_2)+P(C_3)+P(C_4)=0.1 ),( P(C_2)+P(C_3)+P(C_6)=0.1 ),( P(C_3)+P(C_4)=0.05 ) :} rarr{{: ( P(C_2)=0.05 ),( P(C_6)=P(C_4) ) :}$

..e di conseguenza, considerando anche le altre condizioni della traccia, per un'assegnazione coerente è sufficiente che $P(C_3)>=P(C_4)$

Ora puoi sicuramente continuare in autonomia.
PS: che cosa studi?

---

Note

1. vedi definizione di indipendenza fra più di due eventi ↑

[yankarinRG]

Ciao @tommik, grazie per l'estesa risposta. Fondamentalmente, la cosa che non capisco di quest'esercizio è come rappresentare la condizione $B^^A^c^^D = \emptyset$: teoricamente penso che voglia dire che non esiste intersezione tra $B$, $A^c$ e $D$, ma a doverlo rappresentare sulla carta proprio non ci arrivo. Innanzitutto vorrei capire se questo è l'unico problema che incontro: qualora non ci fosse l'evento $D$ e l'unica condizione fosse $B^^C sube A$, questo grafico sarebbe corretto?



Secondo la teoria, due eventi $E$ e $H$ si dicono stocasticamente indipendenti se

$P(E^^H)=P(E)P(H)$

o, equivalentemente

$P(H|E)=P(H)$ (se e solo se $E != emptyset$)

Ad esempio: $P(text(Domani piove)|text(Oggi ho visto la TV)) = P(text(Domani piove))$ in quanto l'evento $text(Oggi ho visto la TV)$ non influenza la valutazione della probabilità dell'evento $text(Domani piove)$.

Non mi è proprio chiaro come visualizzare gli eventi stocasticamente indipendenti in un diagramma di Venn.

Ti ringrazio per avere incluso inoltre il sistema, in effetti una volta disegnato correttamente il grafico è facile impostarlo e risolverlo.

PS: che cosa studi?

Frequento il secondo anno di Informatica.

[yankarinRG]

Ho provato a svolgere di nuovo l'esercizio in quanto non capisco come mai non ci siano certi costituenti come $A^^B^^C^c$ (senza considerare $D$) e questo è il grafico che mi torna:


Il diagramma dovrebbe rispettare tutte le condizioni imposte:
- $B ∧ C ⊆ A$
- $B ∧ A^c ∧ D = ∅$
Inoltre, essendo $C$ e $D$ stocasticamente indipendenti, si deve avere $P(C ∧ D) = P(C)P(D) ⇒ c_1 + c_2 + c_7 = 0.1 · 0.5 = 0.05$

$A ∧ C ∧ D = c_1 + c_2$

[tommik]

Non so cosa dire... diagrammi che rispettano le consegne della traccia ce ne sono diversi. Non so se la mia soluzione è corretta... Io ho cercato di disegnare un diagramma che soddisfi tutte le richieste e fornisca una soluzione immediata al problema.
Se vuoi fare diversamente fai bene...però dal tuo messaggio non vedo alcuna soluzione...dovresti trovare $a<=P( c_1 +c_2)<=b$ tali per cui la somma della probabilità di tutti i costituenti faccia 1. Nella mia soluzione ciò avviene $AA P(C_3 )in [2.5%, 5%]$ rispettando tutti i vincoli della traccia.

I costituenti non sono tutti i possibili sottoinsiemi ma solo quelli necessari alla soluzione del problema...anzi, più una partizione è grossolana ma sufficiente allo scopo meglio è.... e mi pare che nella mia proposta non manchi nulla IMHO

EDIT: questa ad esempio è un'altra possibile composizione che, rispettando tutte le consegne della traccia, permette di avere una $P(AnnCnnD)=I in [0;5%]$...quindi un'assegnazione coerente più ampia della prima che ho trovato....



quindi evidentemente ci sono più soluzioni possibili.

[yankarinRG]

Capito @tommik adesso. Non capivo come mai, nei tuoi grafici, non erano presenti tutte le possibili intersezioni, ma se vale questa "regola"

I costituenti non sono tutti i possibili sottoinsiemi ma solo quelli necessari alla soluzione del problema

allora è tutto più semplice.
Nella pratica, quindi, si disegna il grafico con il minor numero di sottoinsiemi che verificano le condizioni della traccia.

Risolvendo il tuo ultimo grafico, ricordando che $A ^^ C ^^ D = e$ e che per essere stocasticamente indipendenti $A$, $C$ e $D$ si deve avere $P(A ^^ C ^^ D) = P(A)P(C)P(D)$

$\{(a+b+d+e=0.5),(d+e+g=0.1),(d+e+f=0.1),(b+c+e+f=0.5),(e+f=0.05),(a+b+c+d+e+f+g+h=1),(text(a, ..., h)>=0):} rarr e=0.05-f rarr 0<=e<=0.05 rarr I in [0,0.05]$

$lambda in I = 0.5 ⋅ 0.1 ⋅ 0.5 = 0.025$

[tommik]

sì ma resta il fatto che quel $lambda=0.025$ non è comunque accettabile perché affinche $A,C,D$ siano indipendenti non basta che

$P(AnnCnnD)=P(A)P(B)P(C)$ ma serve che i tre eventi siano indipendenti anche a coppie




quindi non esiste un $lambda$ che renda gli eventi in questione indipendenti

[yankarinRG]

Ah okay quindi, tutto sommato, sarebbe:
$\{(P(A^^C^^D)=P(A)P(C)P(D)=e=0.025),(P(A^^C)=P(A)P(C)=e+d=0.05),(P(A^^D)=P(A)P(D)=b+e=0.25),(P(C^^D)=P(C)P(D)=e+f=0.05):}$

da aggiungere al sistema originale che diventa

$\{(a+b+d+e=0.5),(d+e+g=0.1),(d+e+f=0.1),(b+c+e+f=0.5),(e=0.025),(e+d=0.05),(b+e=0.25),(e+f=0.05),(a+b+c+d+e+f+g+h=1),(text(a, ..., h)>=0):} rarr \{(d=0.025),(b=0.225),(f=0.025):}$

$rarr \{(d+e+g=0.1),(d+e+f=0.1):} rarr f=g=0.1-(0.025+0.025)=0.05$

ma $f = 0.025 != 0.05$

È questa la spiegazione sul perché la condizione che $A$, $C$ e $D$ siano stocasticamente indipendenti rende l'assegnazione non coerente, e quindi $lambda$ non esiste?