Applicazione proprietà della media

[GianniRoberi25]

Salve a tutti,
Mi sono appena iscritto su questo forum perché è da tempo che cerco di capire un tipo di esercizio che proprio non riesco a fare.
L'esercizio in questione riguarda, come da titolo, una proprietà della media aritmetica; più precisamente la minimizzazione della somma del quadrato degli scarti, ovvero:

$ sum_(i = 1)( x_i -c)^2 $ minima per $ c=bar(x) $

In particolare, l'esercizio, chiede di minimizzare una sommatoria attraverso l'applicazione di tale proprietà. Gli esercizi più semplici li riesco tranquillamente a risolvere, come questo:
si trovi la soluzione al seguente problema: $ min_Theta sum_i(x_i-1/Theta )^2fi $

che risolvo sostituiento $ beta =1/Theta $ ottenendo quindi: $ beta =mu _x $ che ottengo applicando la proprietà sopracitata, e sostituendo trovo che: $ Theta =1/mu _x $ dove $ mu _x $ è la media aritmetica di x. (Che risolta uguale allo svolgimento del prof)

Nel caso di esercizi più complicati non ho la ben che minima idea di come fare o cosa sostituire. Due esempi sono:

$min _b sum_i(y_i -b*sqrt(x_i) )^2 n_i $ con $x_i>0$

$min _b sum_i(y_i -b*x_i)^2$

Quello che ho pensato di fare è sostituire $beta$ al secondo elemento, quindi nel caso del secondo esempio, pongo $ beta = b*x_i$, ottenendo quindi:
$min _b sum_i(y_i -beta)^2$ che posso risolvere applicando la proprietà in questo modo: $beta = mu_y$ dove $mu_y$ è la media di $y_i$.
Ottengo quindi che $mu_y = b*x_i$ e di conseguenza trovo che $b = mu_y/x_i$.
Dunque mi domando, ha senso come soluzione o ho sbagliato l'esercizio? Se non si può risolvere sostituendo in questo modo, cosa devo sostituire?

Scusate per la lunghezza e grazie in anticipo per qualsiasi forma di aiuto.

[tommik]

Per risolvere questo tipo di esercizi è sufficiente applicare le note proprietà di analisi...derivi e poni =0

Es: minimizzare $G=Sigma_i(x_i-c)^2$

$(partialG)/(partialc)=-2(Sigma_i(x_i-c))=0$

$Sigma_i x_i=nc$

$c=bar(x)$

E così via....

Ps: benvenuto nel forum

[GianniRoberi25]

Grazie mille per la risposta, ma questi esercizi sono inseriti nella parte teorica dell'esame e di conseguenza non posso derivare ma devo obbligatoriamente usare la proprietà.

Però, nel caso utilizzassi questo metodo con l'esercizio:
$min _b sum_i(y_i-b*sqrt(x_i) )^2ni $

verrebbe $(partial G)/(partial c)= -2( sum_i(y_i-b*sqrt(x_i) ))=0 $

quindi $ sum_iy_i=b*sqrt(x_i) $

quindi $mu_y =b*sqrt(x_i)$ e infine $b=mu_y/sqrt(x_i)$

Giusto o ho sbagliato qualcosa?

[tommik]

Dunque, premesso che il metodo che ti ho indicato io e utilizzare la proprietà della media è esattamente la stessa cosa¹, con l'unica differenza che io ho semplicemente dimostrato la proprietà che vorresti usare senza dimostrazione.

Quindi minimizzando rispetto a $b$ la quantità

$Sigma_i[y_i-bsqrt(x_i)]^2n_i$

derivi rispetto a b ottenendo

$-2Sigma_i[y_i-bsqrt(x_i)]n_isqrt(x_i)=0$

$Sigma_i y_isqrt(x_i)n_i-bSigma_i x_i n_i=0$

$hat(b)=(Sigma_i y_isqrt(x_i)n_i)/(Sigma_i x_i n_i)$

per semplificare il risultato (oppure per utilizzare la proprietà di minimizzazione della media tout court) sarebbe necessario almeno sapere cosa è $n_i$.....sono le frequenze (immagino assolute..) di che cosa? (avendo due variabili non è affatto chiaro) oppure un minimo di contesto del problema...

Come pure il terzo esempio che hai portato:

$min_bSigma_i[y_i-bx_i]^2$

derivi e poni =0....

$-2Sigma_i[y_i-bx_i]x_i=0$

$Sigma_iy_ix_i=bSigma_ix_i^2$

$hat(b)=(E[XY])/(E[X^2])$

Questo metodo non è altro che l'applicazione della proprietà della media e ti faccio anche notare che la stessa metodologia viene applicata nella regressione lineare (minimizzazione ai minimi quadrati) per definirne i parametri:

Si minimizza infatti

$min_(a,b)Sigma_i[y_i-a-bx_i]^2$

derivi rispetto ai due parametri, poni =0 ottenendo subito

${{: ( -2Sigma_i[y_i-a-bx_i]=0 ),(-2Sigma_i[y_i-a-bx_i]x_i=0 ) :}$

da cui, con qualche semplice passaggio algebrico trovi

$a=bar(Y)-b bar(X)$

$b=(Cov(X,Y))/(sigma_(X)^2)$


Il risultato che trovi tu è ovviamente sbagliato e non ti torna perché non consideri che $sqrt(x_i)$ dipende dalla sommatoria....

Il risultato che ho trovato io (semplificazioni a parte) è giusto per forza perché ho semplicemente derivato (correttamente) e posto uguale a zero.



saluti

---

Note

1. infatti anche quello "semplice" risolto correttament dal prof, con due altrettanto semplici passaggi porge $Sigma_ix_i f_i-(Sigma_i f_i)/theta=0 rarr hat(theta)=1/mu_x$ ↑

[GianniRoberi25]

Non si sa, l'esercizio chiede solo di risolvere minimizzando b senza dare alcuna ulteriore indicazione.

Però ho notato che il metodo da me inizialmente usato da una soluzione diversa da quella ottenuta con la derivata. Perché sostituendo $beta$ a $b*sqrt(x_i)$ si ottiene che $b=mu_y/sqrt(x_i)$, mentre con la derivata da te ottenuta, se si divide e si moltiplica per $1/N$ con $N=sum(n_i)$ si trova $b=(mu_ysqrt(x_i))/mu_x$

Idee per le quali siano diversi? Ovviamente il primo sembra sbagliato ma non capisco il perchè

[GianniRoberi25]

Si, quello era ovvio...ma da quel che ho capito, il punto dell'esercizio dovrebbe essere trovarmi con la costante uguale a qualcosa in funzione della media. è ovvio che $x_i$ senza sommatoria non ha senso, era per far notare che anche se si potesse fare ci sarebbe $mu_x$ al denominatore