Probabilità dadi (principiante)

[yepjeeway]

Ciao,
innanzitutto scusate perché sono quanto di più lontano si possa trovare da un matematico. Sono un umanista e un giocatore, e scrivo unicamente per avere un'infarinatura in merito alle probabilità nel lancio dei dadi.

Mi interessa in particolare sapere:

1. come calcolare la probabilità che si ottenga al massimo un determinato numero (es. massimo 4 su un dado da 12 significherebbe che (0), 1, 2, 3 e 4 vanno bene);
2. come procedere nel caso si tiri più di un dado (nel senso di tirare più di un dado e che almeno uno dia quel range di risultati);

Un esempio per spiegare come è nata questo mio delirio probabilistico: giocando ad Ambush! mi sono ritrovato a scegliere se tirare un d10 per ottenere max 5, oppure 2d10 per ottenere max 3. Per una volta l'istinto non mi è bastato.

Grazie, ciao.

P.S. Ho provato a cercare qualche calcolatore online, ma praticamente tutti fanno la somma dei risultati se lancio più di un dado, e non è quello di cui ho bisogno.

[Stat_F]

Il primo problema è semplicissimo. Prova a pensarci, se tu hai un dado con numeri equiprobabili, ovvero un dado non truccato la probabilità che esca un numero minore o uguale di un generico $$x\in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$$ è esattamente $\frac{1}{12} \cdot x$
Nota che se per caso lo 0 è incluso nei numeri che possono uscire allora la formula diventa $$\frac{1}{12}\cdot (x+1).$$
Per rispondere alla domanda 2 prendi i risultati di prima e chiama $\theta$ il risultato della domanda precedente.
A questo punto lanciando $n$ dadi il modo per ottenere la probabilità che almeno una volta si verifichi quel range è applicare la seguente formula: $$1-\binom{n}{0}(1-\theta)^{n}.$$ Ora che sai questo ti basta applicare le due formule e puoi svolgere il calcolo. Se sei interessato ho utilizzato semplicemente una variabile casuale uniforme discreta ed una binomiale, che sono tra le più semplici e più utilizzate nel gioco d'azzardo.

[yepjeeway]

Ciao, grazie mille per la risposta - e sì, in effetti la prima domanda era abbastanza idiota.
Riguardo la seconda questione: ti scoccerebbe risolvere la formula facendo un esempio passo passo? Tieni conto che non so veramente NULLA in assoluto oltre le addizioni... tipo: la n (numero di lanci) sopra lo zero che significa?

[superpippone]

Tirare un d10 ed ottenere al massimo 5: $5/10=0,5$

Tirare due d10, e che su almeno 1 ci sia al massimo 3: $1-(7/10)^2=0,51$

[yepjeeway]

Tirare un d10 ed ottenere al massimo 5: $5/10=0,5$

Tirare due d10, e che su almeno 1 ci sia al massimo 3: $1-(7/10)^2=0,51$

Grazie davvero, chiarissimo.
Per pura curiosità ed eventuali utilizzi futuri, qual è invece la formula da usare se si valutasse la SOMMA dei risultati dei dadi lanciati? Tipo, se lancio 3d6 qual è la probabilità di ottenere un risultato totale da 3 a 8?

[superpippone]

Ehhhhh.......
In quell'utimo caso te le devi proprio contare....

Le possibili sortite sono $6^3=216$

[superpippone]

La casistica è la seguente:

3 e 18 $1$
4 e 17 $3$
5 e 16 $6$
6 e 15 $10$
7 e 14 $15$
8 e 13 $21$
9 e 12 $25$
10 e 11 $27$

Totale da 3 a 8 $(1+3+6+10+15+21)/216=56/216=0,259$

[tommik]

A completamento della discussione ricordo che, in questi problemi, senza fare tutti i casi ma con una semplice applicazione di un terorema limite otteniamo:

$P[3<=X<=8]=P[2.5<Z<8.5]=Phi((8.5-10.5)/sqrt(8.75))-Phi((2.5-10.5)/sqrt(8.75))=Phi(-0.68)-Phi(-2.70)=0.246$

che non è proprio il risultato esatto di $0.259$ calcolato da @superpippone ma ci si avvicina parecchio....(viene circa 25% approssimato contro un 26% effettivo)

Contare tutti i casi con 3 dadi come ha fatto @superpippone non è difficilissimo ma nemmeno immediato...



Se di dadi ne avessi 10 e dovessi calcolare la probabilità che la somma sia compresa diciamo fra 40 e 50 (estremi inclusi) per fare i conti con tutti i casi può diventare un suicidio.....dovrebbero essere circa 12 milioni...

Mentre utlizzando questo fantastico teorema otteniamo immediatamente

$P[40<=X<=50]=P[39.5<Z<50.5)=Phi((50.5-35)/sqrt(29.17))-Phi((39.5-35)/sqrt(29.17))=Phi(2.87)-Phi(0.83)=0.20$

Se qualcuno avesse voglia di calcolare il valore esatto di tale probabilità potremmo anche confrontare la bontà del risultato approssimato...io ovviamente mi tiro fuori per manifesta incapacità....

[yepjeeway]

La casistica è la seguente:

3 e 18 $1$
4 e 17 $3$
5 e 16 $6$
6 e 15 $10$
7 e 14 $15$
8 e 13 $21$
9 e 12 $25$
10 e 11 $27$

Totale da 3 a 8 $(1+3+6+10+15+21)/216=56/216=0,259$

Tutto quasi chiarissimo! I numeri in blu sono quante possibilità ci sono di ottenere quel risultato... anche la formula seguente è chiara. Solo, non capisco cosa siano i numeri dopo la "e" (tipo 18, 17...).

[yepjeeway]

Mentre utlizzando questo fantastico teorema otteniamo immediatamente

$P[40<=X<=50]=P[39.5<Z<50.5)=Phi((50.5-35)/sqrt(29.17))-Phi((39.5-35)/sqrt(29.17))=Phi(2.87)-Phi(0.83)=0.20$

Se qualcuno avesse voglia di calcolare il valore esatto di tale probabilità potremmo anche confrontare la bontà del risultato approssimato...io ovviamente mi tiro fuori per manifesta incapacità....

Ovviamente non ci ho capito nulla...
Voglio dire, la soluzione mi sembra valida ed è fantastico avere una formula generale che copra tutti i casi e dia un risultato sensato, per quanto un po' approssimato - ma come la spiegheresti a un profano? Tipo, se sapessi un po' di codice e la volessi scrivere diciamo in Python - che è facile -, come la butteresti giù?

Ad esempio, quella che mi hai dato prima, per il lancio di dadi l'ho tradotta in: (1-1*(1-(p/f))**n)*100
...dove p, f e n sono rispettivamente le possibilità di successo, le facce del dado e il numero di dadi lanciati.