Visto il numero di regole infrante nel messaggio dall'OP, il topic sarebbe da chiudere ma, in considerazione del fatto che il quesito 1) lo ritengo decisamente interessante e non presente (a mia memoria) in altri topic del forum, ho deciso di mostrarne la soluzione.
Il quesito 2) è banale e si risolve in un passaggio con l'utilizzo della MGF e le sue proprietà (oltretutto è un quesito postato decine di volte)
Partiamo quindi dalla passeggiata aleatoria. Immagino che il quesito sia riferito ad una passeggiata aleatoria unidimensionale.
In tale caso, ritornare all'origine significa fare $h$ passi a sinistra (a destra) su $2h$ passi totali. Formalmente, usando la distribuzione binomiale, otteniamo:
$P[S_n=0]=P[Z_n]=((2h),(h))(pq)^h$
con $q=(1-p)$
Per provare che, con probabilità 1, il numero di ritorni all'origine è finito, conviene provare che, con probabilità zero, il numero di ritorni all'origine è $oo$; in termini formali:
$P["limsup"_(nrarroo) Z_n]=0$
Ora, per il teorema di Borel Cantelli, condizione sufficiente affinché tale probabilità sia nulla è che la serie
$sum_(n in NN)P[Z_n]<oo$
Per verificare la convergenza della serie utilizziamo il criterio del rapporto, ovvero verifichiamo che $lim_(n rarr oo)(a_(n+1))/(a_n)<1$
$lim_(h rarr oo)( ((2(h+1)),(h+1))(pq)^(h+1))/( ((2h),(h))(pq)^h)=((2h+2)!h!h!)/((h+1)!(h+1)!(2h)!)pq=((2h+2)(2h+1))/((h+1)(h+1))pq=(4h^2+...)/(h^2+...)pq=4pq$
Abbiamo finito....
Infatti, dato che per ipotesi la passeggiata è asimmetrica, si ha che $p != q$ e quindi $pq<1/4$ e dunque $4pq<1$ che dimostra l'asserto.
Spero che questa dimostrazione possa essere utile ai lettori del forum.
