funzione di variabile aleatoria

[julianross1983]

Ho diversi problemi quando devo calcolare funzioni di densità a partire da altre..mi spiego meglio:
Data una variabile aleatoria X uniformemente distribuita in [0 1], calcolare Y=-1/b*log(1-X) con b>0.......come si fanno a calcolare gli estremi della nuova funzione e come si fà in genere?

[Tipper]

Dette $\eta$ e $\xi$ le realizzazioni delle variabili aleatorie $Y$ e $X$, risulta

$\eta = -\frac{1}{b} \log(1 - \xi)$

Quindi, se $\xi = 0$ allora $\eta = 0$, se invece $\xi \to 1^{-}$ allora $\eta \to +\infty$. Di conseguenza

$\xi \in [0,1] \implies \eta \in [0, +\infty)$

Detto questo, direi che il supporto della densità di probabilità di $Y$ è $\mathbb{R}^{+}$.

[julianross1983]

ok..ma potresti descrivermi un procedimento passo passo per calcolarmi gli estremi, e la densità di probabilità Y?
grazie!

[Tipper]

La densità di probabilità di $Y$ vale

$f_{Y}(\eta) = \sum_{i=1}^{m} \frac{f_{X}(\xi_i)}{|g'(\xi_i)|}$

dove gli $\xi_i$ sono valori tali che $g(\xi_1) = g(\xi_2) = \ldots = g(\xi_m) = \eta$. Per i valori di $\eta$ tali che $g(\xi) = \eta$ non ha soluzione risulta $f_{Y}(\eta) = 0$.

Nel tuo caso, risulta $\eta = g(\xi) = -\frac{1}{b} \log(1 - \xi)$. Se vai a sostituire valori di $\xi$ appartenenti all'intervallo $[0,1]$ vedi che $\eta$ varia fra $0$ e $+\infty$. Quindi per $\eta < 0$ risulta $f_{Y}(\eta) = 0$.
Risolvendo l'equazione precedente rispetto a $\xi$ si trova

$\xi = 1 - e^{-b \eta}$

Calcolando la derivata di $g(\cdot)$ si trova $g'(\xi) = \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{1-\xi}$, quindi la densità di probabilità di $Y$ per $\eta > 0$ vale

$f_{Y}(\eta) = \frac{1}{\frac{1}{b} \cdot \frac{1}{1 - 1 +e^{-b \eta}}} = \frac{b}{e^{b \eta}}$

considerando che nell'intervallo $\xi \in [0, 1]$ la densità di probabilità di $X$ vale $1$.

In conclusione, la densità di probabilità di $Y$ vale

$f_{Y}(\eta) = \{(\frac{b}{e^{b \eta}}, "se " \eta \ge 0),(0, "se " \eta < 0):}$

[julianross1983]

ho notato però che in alcuni casi questo procedimento non và...ad esempio(altro esercizio)-> X vale 1/4 se x appartiene a [-1 -1/3] e 5/8 se x appartiene a [-1/3 1] e 0 altrove....la Y=3*modulo(X) ....forse perchè X ha più soluzioni?perdonami la scrittura matematica non attinente al forum,ma mi sono iscritto 2 ore fà....

[Tipper]

Questo procedimento, nel caso di variabili aleatorie scalari va bene sempre, basta usarlo per bene. Se hai

$f_{X}(\xi) = \{(\frac{1}{4}, "se " -1 \le \xi \le -\frac{1}{3}),(\frac{5}{8}, "se " - \frac{1}{3} < \xi \le 1),(0, "else"):}$

e inoltre $Y = g(X) = 3 |X|$, da cui $\eta = g(\xi) = 3|\xi|$ si nota che

$ -1 \le \xi \le -\frac{1}{3} \implies 1 \le \eta \le 3$

$- \frac{1}{3} < \xi \le 1 \implies 1 < \eta \le 3$

Dato che $g(\xi) = \eta \implies \xi =\{(\frac{\eta}{3}, "se " \xi \ge 0),(-\frac{\eta}{3}, "se " \xi < 0):}$ e $|g'(\xi)| = 3$,

per $1 \le \eta \le 3$ vale $f_{Y}(\eta) = \frac{\frac{1}{4}}{3}+ \frac{\frac{5}{8}}{3} + \frac{\frac{5}{8}}{3} = \frac{1}{12} + \frac{5}{24} + \frac{5}{24} = \frac{1}{2}$

Quindi

$f_{Y}(\eta) = \{(\frac{1}{2}, "se " 1 \le \eta \le 3),(0, "else"):}$

[julianross1983]

io però dalla soluzione dell'esercizio(presa dal eserciziario) trovo

f(y)=5/12 se y appartiene a [0 1], 7/24 se y [1 3] e 0 altrove......boh...non ci capisco + niente!

[Tipper]

È vero, sono stato un po' troppo frettoloso: dovevo pure distinguere i casi in cui $\xi$ è positivo da quelli in cui è negativo. Infatti i valori di $\xi$ tali che $g(\xi) = \eta$ cambiano a seconda del segno di $\xi$, voglio dire

$g(\xi) = \eta \implies \xi = \{(\frac{\eta}{3}, "se " \xi \ge 0),(-\frac{\eta}{3}, "se " \xi < 0):}$

Ricapitolando

$-1 \le \xi \le -\frac{1}{3} \implies 1 \le \eta \le 3$

$-\frac{1}{3} \le \xi \le 0 \implies 0 \le \eta \le 1$

$0 \le \xi \le 1 \implies 0 \le \eta \le 3$

quindi

per $0 \le \eta \le 1$ vale $f_{Y}(\eta) = \frac{\frac{5}{8}}{3} + \frac{\frac{5}{8}}{3} = \frac{5}{24} + \frac{5}{24} = \frac{5}{12}$

per $1 \le \eta le 3$ vale $f_{Y}(\eta) = \frac{\frac{1}{4}}{3} + \frac{\frac{5}{8}}{3} = \frac{1}{12} + \frac{5}{24} = \frac{7}{24}$

Quindi, come hai detto

$f_{Y}(\eta) = \{(\frac{5}{12}, "se " 0 \le \eta \le 1),(\frac{7}{24}, "se " 1 \le \eta \le 3),(0, "else"):}$

Scusa per la confusione.

[julianross1983]

sei un grande.grazie mille!

[Tipper]

Figurati.