Salve, vorrei capire se lo svolgimento di questo esercizio è giusto:
Sia X1,X2,...Xn un campione casuale estratto da una v.c. di Poisson con funzione di probabilità
$ f(lambda ,y)= lambda ^x/(x!)e^-lambda $
(a) Si ricavi lo stimatore di massima verosimiglianza per λ.
(b) Si ricavi il test Score per saggiare, ad un livello fissato pari a 0.05, il seguente sistema di ipotesi:
$ { ( H0:\lamda=lamda0 ),( H1:\lambda!= \lambda0 ):} $
(c) Si ricavi un intervallo di confidenza asintotico per il coefficiente di variazione della v.c. del punto 1. al livello 1−α.
La mia soluzione è la seguente:
$ A) $ Trovo la verosimiglianza della funzione e successivamente calcolo la logverosimiglianza: $ logv(\theta,y)=sumy*log(\lamda)-n\lamda-sumlogyi! $ .
Successivamente calcolo la statistica score: $ U(\theta,y)=y/\theta-n $ da cui, ponendo a 0 la funzione score, ottengo lo stimatore di maxv: $ \theta^(^MV)=(sum(y))/n $ .
Fino a qui tutto molto semplice, ora arriva la parte su cui sono insicuro.
$ B) $ Per calcolare la funzione score ho effettuato il rapporto tra la statistica score al quadrato ($ U(\theta,y)=((sumy)/lamda-n)^2 $)e l'informazione attesa di Fisher( $ -E[(partial^2 l)/(partial \theta^2) ]=-E[-(sumyi)/(\theta^2)]=\theta/\theta^2=1/\theta $ ); dunque $ U(\theta,y)^2/(I(\theta)) $
Tale risultato avrà convergerà asintoticamente ad una chi-quadro con n-1 gradi di libertà.
Infine troviamo il quantile corrispondente al nostro livello di confidenza e da qui verifichiamo se la statistica score ottenuta è compresa nell'intervallo d'accettazione: Se la risposta è si, accettiamo Ho, sennò rifiutiamo.
$ 3) $ Francamente penso sia un errore del testo.