Valore atteso della massima verosimiglianza

Messaggioda Drago98 » 11/01/2019, 02:53

Buonasera, non ho ben capito come svolgere l'esercizio seguente:
Sia Z1,Z2,...,Zn un campione casuale proveniente dalla v.c. Z avente distribuzione Esponenziale Negativa con fdp:
$ f(theta,y)=theta*e^(-thetay) $
1)Si determini lo stimatore di massima verosimiglianza di E[Z].
Francamente non riesco a capire come svolgere l'esercizio, lo stimatore di massima verosimiglianza lo so trovare facilmente per i parametri, ma qui ho davvero troppi dubbi.
Un mio tentativo possibile sarebbe quello di calcolare la statistica score, $U(theta,y)=n/theta-sumz $ e successivamente, dato che il valore atteso di una esponenziale negativa è $1/lamda$, avrei messo in evidenza la funzione score per $ 1/theta$ ottenendo dunque $1/theta=(sumz)/n $ .
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Re: Valore atteso della massima verosimiglianza

Messaggioda tommik » 11/01/2019, 05:51

a parte il fatto che hai fatto un po' di confusione con la traccia, se il campione casuale semplice è $Z_1,...,Z_n$ allora la densità sarà $f(theta,z)$, il risultato è giusto e basta applicare una nota proprietà degli stimatori Mv: la proprietà di invarianza.

Se $hat(theta)_(MV)$ è lo stimatore di MV per $theta$ allora $g(hat(theta)_(MV))$ è lo stimatore di massima verosimiglianza di $g(theta)$


Quindi prima calcoli lo stimatore di MV per il parametro $theta$ ottenendo $hat(theta)=1/bar(z)$ e successivamente, dato che

$mathbb{E}[Z]=1/theta$ trovi che $mathbb{E}[Z]=bar(z)$

del resto è anche naturale pensare che lo stimatore della media della popolazione sia la media campionaria...non trovi?

Comunque alla pagina 284 del MGB che dovresti avere anche tu, leggi quanto segue:
Immagine

...alla pagina successiva trovi anche l'estensione di tale teorema a funzioni non invertibili
Gurdulù ha ingurgitato una pinta d'acqua salata prima di capire che non è il mare che deve stare dentro a lui ma è lui che deve stare nel mare
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Re: Valore atteso della massima verosimiglianza

Messaggioda Drago98 » 11/01/2019, 11:48

Perfetto, ho capito tutto quanto, grazie mille per il tuo aiuto!
Comunque sto utilizzando per ora la versione italiana del MGB, l'ho trovato a 9 euro "usato" , però quando non capisco qualcosa controllo sempre la versione originale per vedere se ci sono errori di stampa o robe simili , ti ringrazio davvero tanto per avermelo consigliato, l'ho trovato utilissimo e in vista dell'esame di martedì mi sembra di essere ben preparato(anche se sto finendo di risolvere qualche piccolo dubbio come questo), speriamo bene!
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