Come si calcola questa probabilità condizionata?

[wattbatt]

Ho un esercizio che data la legge di probabilità congiunta delle variabili aleatorie X,Y (le determinazioni di Y sono 2,3,4):

Y\X	1	2	3
2	1/12	1/6	1/12
3	1/6	0	1/6
4	0	1/3	0

Mi chiede di calcolare la probabilità condizionata $P_(X|Z)(X|Z=6)$ con $Z=X+Y$.

La probabilità condizionata dovrebbe essere $P_(X|Z)(X|Z=6)=(P(XnnZ=6))/(P(Z=6))$, io con la formula di convoluzione ho trovato $P_Z(6)=1/4$ che è il denominatore, ma poi coi dati a disposizione come devo procedere per trovare il numeratore?

[tommik]

io con la formula di convoluzione ho trovato $P_Z(6)=1/4$ che è il denominatore

Per calcolare tale probabilità non serve alcuna convoluzione e comunque il risultato a cui pervieni è sbagliato in quanto

$mathbb{P}[X+Y=6]=mathbb{P}[X=2,Y=4]+mathbb{P}[X=3,Y=3]=4/12+2/12=6/12$

(basta leggere le probabilità congiunte nella tabella; mi sembra evidente che non ci siano altri casi in cui la somma faccia 6)

A questo punto mi sembra alquanto banale calcolare le varie probabilità condizionate:


$mathbb{P}[X=2|X+Y=6]=(4/12)/(4/12+2/12)=2/3$

$mathbb{P}[X=3|X+Y=6]=(2/12)/(4/12+2/12)=1/3$

in definitiva, la distribuzione cercata è la seguente

$X|Z={{: ( 2 , ;2/3 ),( 3 , ;1/3 ) :}$

fine

[wattbatt]

Grazie, alcune cose non le avevo capite, quindi le caselle $(i,j)$ della legge congiunta sono la $P(X=x_i nn Y=y_j)$?