in un esercizio, senza soluzione, proposto dal mio docente si discute del seguente problema:
si consideri di effettuare il lancio di una coppia di dadi $m$ volte.
Qual è il più piccolo intero $m$ per cui la probabilità che esca almeno una coppia di $6$ sia maggiore di $1/2$?
io l'ho impostato così: considero la binomiale $B_m:=B(m,1/(36))$ che mi conta le volte che la coppia $(6,6)$ esce.
a questo punto si deve calcolare $overline(m)=min{m in NN: P(B_mgeq1)>1/2}$
in genere se $X$ è una variabile discreta di rango $R(X):={x_i, i in J}$ dove $|J|leq|NN|$ si ha
$P(X in A)=sum_(a in R(X)capA)aP(X=a)$
dunque $1/2<
P(B_mgeq1)=sum_(k=1)^(m)((m),(k))(1/36)^k(1-1/36)^(m-k)=1/36^msum_(k=1)^(m)((m),(k))35^(m-k)$
ottengo $1/2*36^m<sum_(k=1)^((m),(k))35^(m-k) => 1/2*36^m+35^m<sum_(k=0)^(m)((m),(k))35^m=(1+35)^m=36^m$
per concludere $35^m<1/2*36^m => 2<(36/35)^m => m>(log(2))/(log(36)-log(35))approx 24,6$
quindi si ottiene $overline(m)geq25$. E' corretto?
