Il determinante jacobiano può essere, in valore assoluto, $1/u$ ma anche $u$, dipende come viene calcolato. Secondo me viene più comodo farlo così
$[ ( (partialx)/(partialu) , (partialx)/(partialv) ),( (partialy)/(partialu) , (partialy)/(partialv) ) ] =-u=u$ e poi moltiplicarlo per la congiunta. Alcuni testi riportano una formula differente; calcolano il determinante della seguente matrice
$[ ( (partialu)/(partialx) , (partialu)/(partialy) ),( (partialv)/(partialx) , (partialv)/(partialy) ) ]=...=1/u$ e poi dividono la congiunta per tale valore....ma il riultato è il medesimo, in virtù del teorema dell'inversione locale.
Un'altra cosa a cui devi stare attenta è che hai definito $f_(X)(s)$, $f_(Y)(s)$...non è che sia sbagliato ma devi considerare che le due variabili sono indipendenti e quindi, secondo me, conviene scrivere $f_(X)(x)$, $f_(Y)(y)$
A questo punto sostituisci nella distribuzione congiunta $f_(XY)(x,y)$ e ti devi trovare con
$f_(XY)(x,y)=1/lambda^2e^(-(x+y)/lambda)$
ottenendo
$f_(UV)(u,v)=1/lambda^2 u e^(-u/lambda)$
....potevi anche continuare sul precedente topic
(fammi sapere se hai capito. Il "trucco" è capire che quella distribuzione è una gamma, ma lo sai già dal fatto che $U$ è la somma di due esponenziali indipendenti. L'altra è definita su $(0;1]$ e quindi è facile intuire che la congiunta è fatta così
$f_(UV)(u,v)=f_(U)(u)xx1$
ovvero è il prodotto di due densità....le due variabili sono indipendenti.