Si può dimostrare?

Messaggioda mobley » 22/06/2019, 17:42

Sia:
- $a=b$ entrambi costanti;
- $c\in L^+ nn L^-$;
- $f(c)=\alphax+\betay$ con $x,y$ noti e $\alpha,\beta$ costanti;
- $Sup_(L^-)f(c)<=a<=Inf_(L^+)f(c)$.
C'è un modo per dimostrare che $a=b=f(c)$?
mobley
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 393 di 426
Iscritto il: 16/06/2017, 18:23

Re: Si può dimostrare?

Messaggioda Luca.Lussardi » 22/06/2019, 18:08

Non so altri, ma io non ho capito nulla...
Luca.Lussardi
Responsabile scientifico
Responsabile scientifico
 
Messaggio: 8172 di 8318
Iscritto il: 21/05/2006, 18:59

Re: Si può dimostrare?

Messaggioda mobley » 22/06/2019, 19:17

Luca.Lussardi ha scritto:Non so altri, ma io non ho capito nulla...

Ottimo :-D

Vabbè, provo a spiegarmi meglio...
Definiamo:
1) $mathbb(E)^mathbb(Q)[e^(-r\tau_0)\psi(\tau_0,S_(\tau_0))]:= Sup_(\tau)mathbb(E)^mathbb(Q)[e^(-r\tau)\psi(\tau,S_(\tau))]$, dove ${\psi(t,S_t)}_(t\in[0,T])$ è un processo stocastico tale che $\psi:[0,T] xx \mathbb(R)->\mathbb(R)$ è una funzione convessa e lipschitziana e $\tau_0$ è il più piccolo elemento del vettore ${\tau_0,...\tau_n}$ espressione di una serie di istanti temporali.
2) $\Theta:={\theta_0,...,\theta_n}$ un vettore tale per cui $\forall \theta:=(\alpha,\beta) \in \Theta , V_t(\theta):=\alpha_tS_t+\beta_tB_t$, con $\alpha_t,\beta_t \in \mathbb(R)^+$.
Assumiamo poi che sotto certe condizioni $V_t(\theta)$ replica esattamente $\psi$, ovvero $V_t(\theta)-= \psi(t,S_t)$ (c.d. "strategia ottima").
3) ${ ( max{L_(BS)f,\psi-f}=0 ),( f(T,\cdot)=\psi(T,\cdot) ):}$ (con la prima espressione definita in $[0,T[ xx \mathbb(R)$ e la seconda definita in $\mathbb(R)^+$) un problema di massimizzazione con disuguaglianza differenziale che tramite approccio variazionale (ringrazio te Luca e @dissonance per il chiarimento) riscriviamo $ { ( L_(BS)f<=0 ),( f>=\psi ),( (f-\psi)L_(BS)f=0 ),( f(0,\cdot)=\psi(0,\cdot) ):} $.
Sia inoltre $L_(BS)f:=(\partialf)/(\partialt)+(r-q)S(\partialf)/(\partialS)+1/2sigma^2S^2(\partial^2f)/(\partialS^2)-rf$ un operatore differenziale in $f$.
4) $f(t,x):=Sup_(\tau)\mathbb(E)^(\mathbb(Q))[e^(-r(T-t))\psi(\tau,S_(\tau)^(t,x))]$, con $S^(t,x)$ soluzione del moto browniano geometrico che descrive la dinamica di $S_t$ variabile dipendente per $\psi$.
5) $\mathcal(A):=\Theta$ un certo insieme, e siano $\mathcal(A)_\psi^+:={\theta\in\mathcal(A) : V_t(\theta)>=\psi(t,S),\forallt\in[0,T]}$ e $\mathcal(A)_\psi^(-):={\theta\in\mathcal(A) , \exists\tau : \psi(\tau,S_\tau)>=V_\tau(\theta)}$ due sottoinsiemi di $\mathcal(A)$ tali che si dimostra $Sup_(\theta\in \mathcal(A)_(\psi)^(-))V_(\tau)(\theta)<=f<=Inf_(\theta\in \mathcal(A)_(\psi)^(+))V_(t)(\theta)$.

Inoltre si dimostra che se $\theta \in \mathcal(A)_\psi^+ nn \mathcal(A)_\psi^-$ valgono le seguenti condizioni:
6) $V_0(\theta)=\mathbb(E)^(\mathbb(Q))[e^(-r\tau_0)\psi(\tau_0,S_(\tau_0)]=Sup_(\tau)\mathbb(E)^(\mathbb(Q))[e^(-r\tau)\psi(\tau,S_(\tau)]$;
7) $\tau_0=Inf_(t\in[0,T]){f(t,S)=\psi(t,S)}$.

A questo punto ho chiamato per comodità $a=f(t,S)$, $b=\psi(t,S)$, $c=\theta$, $f(c)=V_t(\theta)$, $L^(+)=\mathcal(A)_\psi^+$ e $L^(-)=\mathcal(A)_\psi^-$.

Sapendo tutto questo, c'è un modo per derivare la relazione $ tilde(S) (t):=Inf_(S>0){f(t,S)>\psi(t,S)}$?
mobley
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 395 di 426
Iscritto il: 16/06/2017, 18:23

Re: Si può dimostrare?

Messaggioda axpgn » 22/06/2019, 19:26

Io penso che qui ci vogliano 92 minuti di applausi (come per la corazzata Potemkin), perché sintetizzare tutto questo po' po' di roba in quelle quattro righe ed essere convinti che la gente comprenda è da record mondiale. =D>
axpgn
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 13726 di 14111
Iscritto il: 20/11/2013, 23:03

Re: Si può dimostrare?

Messaggioda mobley » 22/06/2019, 19:28

axpgn ha scritto:Io penso che qui ci vogliano 92 minuti di applausi (come per la corazzata Potemkin), perché sintetizzare tutto questo po' po' di roba in quelle quattro righe ed essere convinti che la gente comprenda è da record mondiale. =D>

Beh, è anche da record mondiale il tempo che ho impiegato per scrivere tutto in latex quindi mi prendo il buono del tuo applauso :wink:
mobley
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 396 di 426
Iscritto il: 16/06/2017, 18:23

Re: Si può dimostrare?

Messaggioda axpgn » 22/06/2019, 19:31

Sinceramente c'è del buono nel mio applauso però la prossima volta pensaci bene prima :wink:
axpgn
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 13727 di 14111
Iscritto il: 20/11/2013, 23:03

Re: Si può dimostrare?

Messaggioda mobley » 22/06/2019, 19:46

Aggiungo che secondo me c'è da sfruttare le proprietà di martingalità perché ${\tau<=t}=F_t$, con $F_t$ le informazioni a disposizione in tale istante e quindi un probabile condizionamento per una martingala...
mobley
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 397 di 426
Iscritto il: 16/06/2017, 18:23

Re: Si può dimostrare?

Messaggioda dissonance » 22/06/2019, 20:19

mobley ha scritto:Sia:
- $a=b$ entrambi costanti;
- $c\in L^+ nn L^-$;
- $f(c)=\alphax+\betay$ con $x,y$ noti e $\alpha,\beta$ costanti;
- $Sup_(L^-)f(c)<=a<=Inf_(L^+)f(c)$.
C'è un modo per dimostrare che $a=b=f(c)$?

Io invece faccio un applauso sincero. Questo è proprio quello che intendevo, quando dicevo che dovresti sintetizzare le tue domande. Io, ad esempio, di sicuro non mi metterò a leggere il secondo post, con tutta quella roba a me sconosciuta.

L'unico problema è che non hai definito tutto; cos'è $L^+$? Cos'è $L^-$? Se $a$ è uguale a $b$, che senso ha dar loro due nomi diversi?
dissonance
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 15483 di 15648
Iscritto il: 24/05/2008, 20:39
Località: Nomade

Re: Si può dimostrare?

Messaggioda mobley » 22/06/2019, 21:11

dissonance ha scritto:Io invece faccio un applauso sincero.

Spero di sbagliarmi nell'avvertire un certo velo di ironia :-D
dissonance ha scritto:Cos'è $L^+$? Cos'è $L^-$?

$L^+$ rappresenta $\mathcal(A)_\psi^+ sub \mathcal(A):=\Theta$. Viceversa $L^-$.
dissonance ha scritto: Se $a$ è uguale a $b$, che senso ha dar loro due nomi diversi?

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Il fatto che $a=f(t,S)$ e $b=\psi(t,S)$ (con $a=b$) dipende dal fatto che $f$ è il prezzo di un contingent claim di payoff $\psi$. Ogni derivato è scritto su un certo underlying (nel senso che il valore di $f$ - che può essere un'opzione, un future, un opzione esotica etc. - "deriva" dal prezzo del suo sottostante $S$ - che a sua volta potrà essere un'azione, un future etc.) Perciò se ${S_t}_(t\in [0,T])$ variabile aleatoria sottostante assume un certo valore al tempo $t$, il profitto che garantirà il derivato sarà un certo $\psi$ e, di conseguenza, tale derivato avrà un certo valore $f$, più o meno alto a seconda del profitto garantito. Più semplicemente, ogni titolo derivato ha un valore $f$ di payoff $\psi$. Quindi in assenza di arbitraggio (alias quelle "certe condizioni" che ho citato prima), che sono strategie d'investimento che pur non richiedendo investimenti iniziali e non esponendo a rischi garantiscono un profitto positivo, vale la condizione $\psi=V_t$: qualunque strategia di arbitraggio $V_t$ non potrà far altro che replicare esattamente il payoff garantito dal derivato e quindi il mercato sarà "equo".

Banalmente, $f$ è una conseguenza di $\psi$: se $S$ aumenta, allora $\psi$ aumenta e quindi anche $\f$. Esprimono due concetti differenti ma da un punto di vista matematico si possono interpretare come la stessa cosa. Il problema sta nel fatto che la variazione in aumento non è sempre la stessa:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
può accadere che un titolo sia "sopravvalutato" dal mercato rispetto al profitto che realmente garantisce

Quindi la disequazione di quella formula che vorrei capire da dove esce rappresenta tutti i punti in cui la funzione $f$ assume valori maggiori di $\psi$, con $\psi$ barriera fissata. Si tratta quindi di un problema a frontiera libera.
mobley
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 398 di 426
Iscritto il: 16/06/2017, 18:23

Re: Si può dimostrare?

Messaggioda gabriella127 » 22/06/2019, 23:38

Mobley, poiché sono il tuo avvocato difensore :) , vorrei spezzare un lancia in tuo favore, ma anche un lancia in favore di chi dice che non si capisce niente e di chi ti invita a essere più sintetico (spezzo tre lance :) )

Tu sei sicuramente molto bravo e andrai avanti negli studi in modo brillante, e le carenze di esposizione quando parli di matematica sono secondo me la conseguenza di quello che ti dicevo il modo 'a tirar via' di insegnare la matematica a economia/finanza. Per cui non si acquisisce la forma mentis e il metodo matematico.
La matematica a economia, nella mia esperienza, non è che è una matematica sbagliata, ne' non rigorosa, è una matematica 'ritagliata' sulle applicazioni e senza approfondimento teorico.

Quindi:
1) Non devi pensare che le cose che fai tu siano pane quotidiano per tutti quelli che hanno studiato matematica. Sono cose complesse. Come ti dicevo, a economia ti ammollano cose avanzate (e spesso particolari) come se fosse acqua fresca e uno pensa che i matematici le sanno fin dalla più tenera infanzia.
Hai messo in Analisi matematica di base, un post che non è di analisi e men che meno di base. Si parla di processi stocastici, moti browniani, martingale, quindi va caso mai in Statistica e probalilità.
2) La 'mattonata' che hai scritto, sicuramente con il sudore della fronte e che comunque ti sarà utile, ha molti difetti di esposizione.
Soprattutto: non si introducono cose, simboli, lettere, funzioni, senza dire cosa sono, a parole. A meno che non siano cose ovvie tipo $R^n o L^p$.
I simboli variano da libro a libro, una cosa che un libro chiama 'filippo' un altro lo chiama 'francesco'.
Ad esempio, che cos'è $S_t$,?Che cosa è $B_t$?
Dici che $ Theta =(vartheta _1,...vartheta _n) $ , poi più sotto dici $ A=Theta $ un 'certo insieme'.
Introduci $L_(BS)f$ senza dire cos'è, e poi vari righi più sotto dici 'Sia l'operatore differenziale $L_(BS)f$.

Ripeto, ti dico queste cose con stima, se i matematici ti fanno causa sarò al tuo fianco :-D .
gabriella127
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 847 di 969
Iscritto il: 16/06/2013, 16:48
Località: roma

Prossimo

Torna a Statistica e probabilità

Chi c’è in linea

Visitano il forum: tommik e 8 ospiti