Sì ma la miseria......non hai nemmeno scritto la traccia completa; non hai scritto quale sia il supporto della variabile
$X in $???
Per compensare a tale lacuna vedo che però
hai scritto lo stesso messaggio due volte...
Premesso che per me è evidente che $X in RR$, vorrei farti entrare in testa (lo so che è tempo sprecato) che gli esercizi vanno scritti per intero, parola per parola, virgole ed avverbi inclusi e con TUTTE LE FORMULE scritte per bene
Ora secondo te uno dovrebbe stare a fare i conti per capire quale sia il dominio della variabile?
Inoltre: prima di rispondere hai verificato l'appartenenza del modello alla Famiglia Esponenziale? Se così non fosse avresti grossi problemi a dimostrare che la statistica sufficiente è anche completa....
Una volta trovata la statistica CSS il test si basa su quella....ed una volta verificato facilmente che il LR è monotono
$LR=(theta_0/theta_1)^(3n)e^((theta_1-theta_0)Sigma_x e^x)=(theta_0/theta_1)^(3n)e^((theta_1-theta_0)T)=g(T)$
che è evidentemente una funzione crescente della statistica CSS
....esiste un apposito teorema (karlin rubin, appunto) che ti da già la regione critica per tutti i test unilaterali
Sul Mood Graybill Boes è il teorema 9.6, (capitolo 9, teorema 6)
PS: per risovere questi test occorre comunque conoscere la distribuzione di T ma qui ti chiede solo di "costruirlo" il test, ovvero di verificare le ipotesi (te le ho fatte praticamente tutte io ) ed applicare il noto teorema. Immagino quindi che il suggerimento di usare la Densità di X si riferisca ai punti precedenti, ovvero a quelli necessari per provare le condizioni necessaria all'applicazione di Karlin Rubin e non alla costruzione del test