Ho una domanda inerente al calcolo del valore atteso di una composizione data da due funzioni dove;
$X:Omega->RR$ è una variabile aleatoria continua con densità $f:RR->RR$
$g:RR->RR$ è una funzione continua e invertibile(quindi monotona, la suppongo crescente)
mi chiedevo la seguente cosa; quando andiamo a calcolare il valore atteso
$E[Y]=int_(-infty)^(+infty)xf(g^(-1)(x))*g^(-1)(x)'dx=int_(-infty)^(+infty)g^(-1)(g(x))f(g^(-1)(x))*g^(-1)(x)'dx$
si arriva a $E[Y]=lim_(t->+infty)int_(-t)^(t)g(g^(-1)(x))f(g^(-1)(x))*g^(-1)(x)'dx=lim_(t->+infty)int_(g^(-1)(-t))^(g^(-1)(t))g(x)f(x)dx$
da cui
$E[Y]=int_(g^(-1)(-infty))^(g^(-1)(+infty))g(x)f(x)dx$
in alcuni testi invece si chiede di dimostrare che $E[Y]=int_(-infty)^(+infty)g(x)f(x)dx$
Sicuramente se $g$ è superiormente e inferioremente illimitata questo è vero; ma è vero in generale? o semplicemente si suppone che $g$ debba essere illimitata?
nb: nella definizione del valore atteso ho utilizzato che deve essere $E[Y]:=int_(-infty)^(+infty)x*f_Y(x)dx$ ed essendo in questo caso $f_Y(x)=f(g^(-1)(x))g^(-1)(x)'$ sono arrivato a quella conclusione.
sbaglio qualcosa?