Funzione potenza test su varianza

[GreenApe]

Ciao! Ho difficoltà nel calcolare la funzione potenza di un test su la varianza di una popolazione normale; il testo dell'esercizio è il seguente:
In un campione di 100 misure della temperatura di ebollizione di un certo liquido
si è trovata una media campionaria $ bar(x) =100° C $ e una varianza campionaria $ s^2=0.0098° C^2 $ .
Supponendo che le osservazioni provengano da una popolazione normale:
(a) Qual è il livello di significatività minimo che porta a rifiutare l'ipotesi che la
varianza delle misure sia inferiore alla soglia 0.015? [p − value $ ~= $ 0.9926.]
(b) Sulla base della risposta al punto precedente, se il livello del test è stato pari
ad 0.01 cosa siete portati a decidere? [0.01 < 0.9926 quindi non posso rifiutare
H0.]
(c) Si definisca, determini e rappresenti graficamente la funzione di potenza del test
di ampiezza α = 0.01. [ $ 1 − Fχ2(99)((2.02)/(σ^2) ) $ ]
(d) Quanto vale la probabilità di errore di II specie in corrispondenza di $ σ^2= 0.09 $ ? [0]

I miei dubbi sono sui punti c) e d). Ho provato a calcolare l'errore di II specie β tenendo conto di come si calcola per un test per la media di una popolazione normale e quindi ragionando per analogia ma il risultato è completamente diverso.
Vi ringrazio in anticipo

[tommik]

I miei dubbi sono sui punti c) e d).

Prima di tutto occorre scrivere il sistema di ipotesi su cui lavorare (che tu avrai sicuramente già fatto per risolvere i punti precedenti e che, a quanto pare, ti sono già sufficientemente chiari)

${{: ( mathcal(H)_0:sigma^2<=0.015 ),( mathcal(H)_1:sigma^2>0.015) :}$

La distribuzione normale appartiene alla famiglia esponenziale, il test è unilaterale....basta applicare un noto teorema per avere subito la regione critica: Rifiuto $mathcal(H)_0$ se e solo se

$mathbb(P){S^2>k|sigma^2=0.015}=mathbb(P){chi_(99)^2>k_1}=0.01 rarr k_1=134.64$ (dalle tavole o con opportuna approssimazione)

in sostanza il quantile critico della chi quadro (sotto $mathcal(H)_0$) è il seguente

$((n-1)S^2)/sigma^2=134.64 rarr S_("Critico")^2=0.0204$

A questo punto non resta che applicare la definizione di funzione di potenza del test per ottenere

$pi(sigma^2)=mathbb(P){S^2>0.0204|sigma^2>=0.015}=mathbb(P){chi_(99)^2>(99*0.0204)/sigma^2}=mathbb(P){chi_(99)^2>(2.02)/sigma^2}=1-F_(chi_(99)^2)((2.02)/sigma^2)$

...Ora il punto d) è immediato essendo, per definizione, $beta=1-gamma=F_(chi_(99)^2)((2.02)/(0.09))=F_(chi_(99)^2)(22.44)=0$

Per la rappresentazione grafica della potenza in funzione di $sigma^2$ ti lascio ragionare....ma è davvero molto semplice.

Per chiarirti eventualmente le idee su ampiezza e potenza del test, puoi guardare questo interessante topic

Per la prossima volta ricorda che in questo forum è obbligatorio inserire una bozza di soluzione che evidenzi i ruoi sforzi per superare gli ostacoli

cordiali saluti

[GreenApe]

Grazie mille! In futuro farò come mi hai suggerito. Grazie ancora per l'aiuto