Verifica delle ipotesi

[Minotauro]

Esercizio:
"Si estrae un campione di 8 confezioni di detersivo in polvere da una grossa produzione. La tabella riporta il peso in grammi delle 8 confezioni.

1998g, 1999g, 2002g, 2011g, 2002g, 2005g, 2005g, 2007g.

Assumendo che la popolazione da cui proviene il campione abbia distribuzione normale, verificare se al livello di significatività del 5%, si può affermare che il peso medio delle confezioni di questa produzione è maggiore di 2000 grammi."

$ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ $

Dati:
$n$=8
$alpha$=0,05

$H_0$ $ : $ $ mu $ =2000

$H_1$ $ : $ $ mu $ >2000

Grado di libertà=$n$-1=8-1=7

$ t_(0,05;7) $ =1,8946

Svolgimento:

$ bar(X) = (1998+1999+2002+2011+2002+2005+2005+2007)/8=2003,625 $

$ sigma ^2=((1998-2003,625)^2+(1999-2003,625)^2+(2002-2003,625)^2+(2011-2003,625)^2+(2002-2003,625)^2+(2005-2003,625)^2+(2005.2003,625)^2+(2007-2003,625)^2)/8 =$

$ = (31,64+21,39+2,64+54,39+2,64+1,89+1,89+11,39)/8=15,98 $


$ sigma =sqrt(sigma ^2) =sqrt(15,98) =3,997 $

$ Z_bar(x) = (bar(X) -mu _0)/(sigma /(sqrt(n) ))=(2003,625-2000)/(3,997\cdot sqrt(8) )=(3,625)/(11,305)=0,32 $


Dato che $ 0,32<1,89 $ non è da rifiutare l'ipotesi nulla, mentre è da rifiutare l'ipotesi $ mu >2000 $

Questo è il tipo di esercizio a mio parere più ostico, pertanto vi chiedo gentilmente di darmi una mano con la risoluzione

[tommik]

Se per gli argomenti precedenti ho detto che eri preparato, qui hai molto da lavorare¹

1) leggere bene il testo e scrivere il sistema di ipotesi da verificare²

${{: ( mathcal(H)_0:mu<=2000 ),( mathcal(H)_0:mu>2000 ) :}$

Per note proprietà (che riassumo brevemente in spoiler con l'aiuto di alcuni link esterni)

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Utilizzando il rapporto di verosimiglianza è facile rendersi conto che il test in questione si deve necessariamente basare sullo stimatore sufficiente del modello, $Sigma_iX_i$ o su una sua funzione monotona, come ad esempio $bar(x)$. Per l'individuazione della regione critica puoi guardare il teorema di Karlin Rubin

A questo punto è importante trovare una quantità pivotale che soddisfi alle nostre esigenze.

In un modello Gaussiano sappiamo che:

$(bar(x)-mu)/sigma sqrt(n)~ N(0;1)=Z$

Quindi scegliamo la seguente quantità (dato che la varianza non è nota)

$(bar(x)-mu)/S sqrt(n)$

e cerchiamo di capire se siamo in grado di identificare come si distribuisce....se troviamo che la distribuzione di questa quantità non dipende più da $mu$, questa è la nostra quantità pivotale

$((n-1)S^2)/sigma^2~ chi_((n-1)^2$

$Z/sqrt(Y/m)~T_((m))$

dove Z è una normale std, Y è una chi-quadro con m gdl e Z e Y sono indipendenti.

In un modello Gaussiano, per il teorema di Basu, $bar(x)$ e $S^2$ sono indipendenti

Ora, supponiamo di avere una distribuzione $N(mu,sigma^2)$ entrambe NON NOTE e vogliamo stimare $mu$

dobbiamo trovare una quantità pivotale, cioè una funzione che dipende sia da $mu$ che dai dati, ma la cui distribuzione sia indipendente da $mu$

Possiamo riscrivere la nostra quantità (speriamo pivotale) così:

$(bar(x)-mu)/S sqrt(n)=((bar(x)-mu)/sigma sqrt(n))/(sqrt(((n-1)S^2)/(sigma^2(n-1))))=Z/sqrt(Y/(n-1)) ~T_((n-1))$

2) La statistica da usare è la seguente

$t_("stat")=(bar(x)-mu_0)/s sqrt(n)=(2003.625-2000)/sqrt(18.27) sqrt(8)=2.399$

$t_("stat")~mathcal(T)_(n-1)$


Dove ovviamente $S^2=1/(n-1)Sigma_x(x-bar(x))^2$

3) Possibili regole di decisione (tutte equivalenti)

a) confronti il $t_("stat")$ con il $t_("crit")=1.895$ e rifiuti l'ipotesi nulla dato che $t_("stat")>t_("crit")$

b) calcoli il p-value del $t_("stat")$ ottenendo dalle tavole³ che $p_"value"<0.025$ e quindi essendo

$p_"value"<alpha$ rifiuti $mathcal(H)_0$ a livello⁴ $5%$.

c) ti lascio leggere sul libro per trovare la terza importante regola di decisione

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Note

1. usa la funzione "cerca" e guarda gli esercizi sul forum così fai un po' di pratica; ne ho risolti a centinaia nei dettagli, basta cercare ↑
2. EDIT: va bene anche come hai fatto, avevo letto male inizialmente ↑
3. per calcolarlo esatto serve il calcolatore e si trova $p_"value"=0.02377...$ ↑
4. osserva che il test è significativo ma non "molto significativo"; infatti non rifiuteresti l'ipotesi nulla con un livello di singnificatività maggiore, ad esempio $alpha=1%$ ↑