Esercizio distribuzione esponenziale

[Samy21]

Salve a tutti ragazzi,

Sto cercando di risolvere questo esercizio:
"Sia $X$ un numero aleatorio con distribuzione di probabilità esponenziale di parametro $lambda=3$.
Sia $Z=3X$.
Calcolare:
a) la funzione di ripartizione di Z;
b) la probabilità $P(Z>5|Z>3)$;
c) il coefficiente di correlazione di X,Z".

Il primo punto non sono sicura su come vada risolto, mi verrebbe da applicare la formula delle distribuzioni esponenziali pari ad $F(x)=1-e^(-lambda x)$ per $x>0$ ma in questo caso sappiamo che dobbiamo considerare Z e non X.
Oppure proverei a procedere come solitamente si fa per calcolare la probabilità,ossia
$F_z(Z)= P(Z<=z)= P(Z<=z, X=0) + P(Z<=z, X=1)$ e sostituendo alla fine otterrei $P(Z>=0)P(X=0)+P(Z>=3)P(X=1)$.
Dopo questo non so come andare avanti.

Riguardo il secondo punto
$P(Z>5|Z>3)= [P(Z>5 V Z>3)]/ [P(Z>3)] = [P(Z>3)]/[P(Z>3)]=1$.

C'è qualcosa di giusto in tutto questo?

Grazie per l'aiuto.

[tommik]

mmmmhhhh....dai che è molto semplice

Per la funzione di ripartizione di Z parti dalla definizione, ricordando che la FdR di X è $F_X(x)=mathbb{P}[X<=x]=1-e^(-3x)$

Quindi semplicemente

$F_Z(z)=mathbb{P}[Z<=z]=mathbb{P}[3X<=z]=mathbb{P}[X<=z/3]=1-e^(-z)$

Quindi Z è una $Exp(1)$

per la probabilità condizionata, anche senza definizione, utilizzando la proprietà di assenza di memoria trovi che

$mathbb{P}[Z>5|Z>3]=mathbb{P}[Z>2]=1-F_Z(2)=e^(-2)$

....con la definizione arrivi al medesimo risultato (al numeratore ci devi mettere l'intersezione, non l'unione però lo svolgimento è giusto )

ora dovresti poter proseguire in autonomia a fare l'ultimo conticino. Tieni presente che, anche senza fare alcun conto, è evidente che $rho(X,Z)=1$

....tu comunque fai tutti i conticini necessari