Esercizio distribuzione uniforme

[Samy21]

Ciao a tutti,
Sto cercando di risolvere questo esercizio:

Tre numeri aleatori X,Y,Z sono indipendenti e con distribuzione uniforme nell'intervallo $[-1,1]$. Calcolare:
a) $Cov(X+Y,Y+Z)$
b) previsione $\ni$ del numero aleatorio $(X+Y)^2-(Y+Z)^2$
c) la probabilità$p_t$ dell'evento $(X+Y>t)$ per ogni $t in (1,2)$

Onestamente già dal primo punto non saprei come calcolare la covarianza dato che non mi trovo relazioni tra i 3 numeri aleatori che mi possano aiutare nel sostituire uno in relazione agli altri.

Grazie!

[tommik]

Onestamente già dal primo punto non saprei come calcolare la covarianza dato che non mi trovo relazioni tra i 3 numeri aleatori che mi possano aiutare nel sostituire uno in relazione agli altri.

Grazie!

per regoamento non ti posso risolvere il problema in toto....ma posso darti dei suggerimenti: hai una definzione...sai che le variabili di partenza sono fra loro indipendenti...non dovrebbe essere difficile

$mathbb{E}[(X+Y)(Y+Z)]-mathbb{E}[X+Y]mathbb{E}[Y+Z]$

....si tratta di svolgere i calcoli e rifarsi ai momenti della uniforme: momento primo (media) lo sai...varianza pure...quindi essendo $V(X)=E(X^2)-E^2(X)$ sai anche il momento secondo.....più di così ti risolvo tutto

b) Dato che le variabili sono tutte identicamente distribuite, oltre che indipendenti, mi pare evidente che i due numeri aleatori $(X+Y)^2$ e $(Y+Z)^2$ hanno la stessa media....e quindi il risultato è zero...non mi pare servano calcoli
.

c) è una trasformazione di variabile....ci sono tantissimi esercizi qui da cui poter prendere spunto ma mi sa che finora non ne hai visti...

Viene $P(X+Y>t)=(2-t)^2/8$

Quindi te lo spiego:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Le due variabili sono indipendenti e quindi la loro densità congiunta è il prodotto delle densita: $f(x,y)=1/4$




la probabilità richiesta è ovviamente l'area del triangolino colorato per la densità congiunta

[Samy21]

Grazie, sì lo so che da regolamento avrei dovuto scrivere un mio tentativo ma io avevo praticamente scritto la tua stessa formula e poi pensavo di dover svolgere i calcoli,ossia
$mathbb{E}[(X+Y)(Y+Z)]=mathbb{E}[XY + XZ + YY + YZ]=mathbb{E}[XY]+mathbb{E}[XZ]+mathbb{E}[YY]+mathbb{E}[YZ]$.

Trattandosi di distribuzione uniforme, se abbiamo un intervallo $I in (c,d)$ contenuto nell'intervallo $[a,b]$ allora $mathbb{E}=(d-c)/(b-a)$
Ma non so come calcolare $mathbb{E}[XY]$ e gli altri.:sad:

[tommik]

eddai $X$ e $Y$ sono indipendenti basta moltiplicare le medie

$E[YY]=E[Y^2]=V[Y]+E^2[Y]$


la media di una uniforme è $(a+b)/2=0$ nel tuo caso

quindi anche senza carta e penna vedi che si azzera tutto e rimane solo il momento secondo di Y ovvero la sua varianza. In conclusione la covarianza cercata è semplicemente $(b-a)^2/12=1/3$

[Samy21]

Perdonami, avevo i prosciutti davanti gli occhi... Mi piacerebbe dare la colpa alla fame ma niente, stavo forse dormendo.

Comunque grazie, non avevo mai pensato nè tantomeno visto esercizi risolti adoperando la regola 'inversa' della varianza.

Riguardo il punto b) ho capito perfettamente quello che mi hai detto ma ho ugualmente provato a fare i conti per applicare di nuovo quella regola che mi hai detto e volevo solo capire se posso dire davvero di averla capita o no.
Io ho fatto questi passaggi:
$E[(X+Y)^2 - (Y+Z)^2]=E[(X+Y)^2]-E[(Y+Z)^2]$
adesso considero singolarmente ognuno di questi (ne considero solo uno visto che hanno lo stesso valore numerico).
$E[(X+Y)^2]=Var(X+Y) + E[(X+Y)]^2$
per quanto detto nel messaggio di prima, il fattore $E[(X+Y)]^2=0$ quindi l'unico contributo che mi rimane è quello della varianza.
E' corretto dire $Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)= 2/3$?

c) Da cosa capisco che devo fare un cambio di variabile? Dalla presenza del fattore t?
Si hai capito bene, non ho mai visto esercizi di questo tipo.

PS: Ho appreso di più in questi 2 giorni con le tue spiegazioni che leggendo per mesi e mesi il testo della prof.

Grazie mille!!

[tommik]

E' corretto dire $Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)= 2/3$?

c) Da cosa capisco che devo fare un cambio di variabile? Dalla presenza del fattore t?

Sì corretto perché le variabili sono indipendenti (e quidi anche non correlate)

c) non è un semplice cambio di variabile ma una vera Funzione (trasformazione) di un vettore aleatorio. Se non hai mai visto l'argomento lo devi prima studiare. Ad ogni modo ci sono centinaia di esempi svolti qui sul forum.

[Samy21]

c) non è un semplice cambio di variabile ma una vera Funzione (trasformazione) di un vettore aleatorio. Se non hai mai visto l'argomento lo devi prima studiare. Ad ogni modo ci sono centinaia di esempi svolti qui sul forum.

Si i vettori aleatori devo ancora studiarli in maniera approfondita.

OT
Ho un paio di esercizi sempre sulle distribuzioni uniformi da sottoporti, devo iniziare 2 nuovi post oppure posso chiedere in questo stesso visto che l'argomento è quasi il medesimo?
/OT

Grazie.

[tommik]

ogni esercizio il suo bel topic dedicato....