Un numero aleatorio $X in [a,+oo)$ ha in tale intervallo una densità $f(x) = be^(−x)$.
a)Calcolare la costante $b$ e la previsione $m$ di $X$.
b)Calcolare, inoltre, le costanti $c$ e $d$ tali che il numero aleatorio $Y = cX + d$ abbia distribuzione esponenziale di parametro $λ = 1/2$.
a) $\int_a^(+oo) b e^(-x)dx= -b e^(-x)|_a^(+oo)=be^(-a)=1$ e segue che $b=e^a$.
La previsione $m$ mi verrebbe di dire che si può trovare considerando che la distribuzione che abbiamo è esponenziale pertanto $m=1/\lambda$ e nel nostro caso $\lambda=a$ però così mi sembra troppo 'facile'.
Altrimenti dovrei calcolare $\int_a^(+oo) x e^(-ax)dx$ cosa che ho fatto ma credo di aver sbagliato qualche conto per la stanchezza. Il risultato mi viene $(1+a^(-2))e^(-a^2)$.
b) In questo caso dovrei trovare che $f_Y= 1/2 e^(-1/2x)$ per $x>=0$ e nullo altrimenti.
Per fare questo dovrei ricavare X dalla definizione di Y e sostituirla nella densità attualmente in mio possesso?
Grazie per l'aiuto.