1) Se ho due variabili aleatorie congiuntamente distribuite $X,Y$ e $P(Y=0)\ne0$, si può definire la variabile rapporto $Z=X/Y$? Il mio libro pare che intendere che sia sempre possibile l'operazione di divisione; inoltre, la forma finale1 della densità di $Z$ mi dice che è lecito.
Dovrei avere, ad esempio, che il rapporto $X=Y=0$ è $Z=0$. E giusto? Se sì, avrei altri dubbi!
2) In un esercizio ho una bernoulliana $X$ di parametro $p$ e due poissoniane di parametri $\lambda$ indipendenti. Devo determinare la distribuzione di $Y=XZ+W$.
Inizierei a vedere chi è $XZ$: per l'ipotesi di indipendenza ho
\[
\mathbb{P}(X=0;Z=n)=(1-p)e^{-\lambda}\frac{\lambda^{n}}{n!} \qquad \mathbb{P}(X=1;=n)=pe^{-\lambda}\frac{\lambda^{n}}{n!}
\]
Negli altri casi dovrei avere probabilità nulle. Ora, se chiamo $V=XZ$, ho
\[
F_{Y}(y)=\mathbb{P}(V+W\le y)
\]
All'evento $\{V+W\le y\}$ dovrebbe corrispondere un semipiano ma... se non sono congiuntamente distribuite come procedo?
Grazie mille in anticipo
- $f_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}|y|f_{X_{1}X_{2}}(zy,y)dy$ ↑