Quando una è discreta e l'altra è continua...

[mobley]

…cosa si fa?! Sto trovando difficoltà nel capire come approcciarmi a questi casi, che negli ultimi esercizi si presentano sempre più frequentemente.
Es. Il numero $X$ di visite ad una pagina web in un intervallo di tempo prefissato segue una distribuzione di Poisson di parametro $\theta$. A sua volta è considerato aleatorio di legge esponenziale di parametro $\lambda$. Dimostrare che la legge marginale di $X$ è di tipo geometrico: specificare il valore del parametro. Sapendo che si sono avuti $k=5$ accessi, cosa si può dire sulla legge di $\theta$ condizionata appunto al fatto che $X=5$?

Premesso che il secondo punto non mi ci sono nemmeno affacciato… Cosa devo fare?
So bene che da regolamento bisognerebbe presentare un tentativo di soluzione ma non ho proprio la più pallida idea di dove iniziare.
Vi chiederei quindi gentilmente di spiegarmi almeno come impostare questo tipo di problemi

[tommik]

e questo caso è un classico, forse c'è già in giro sul forum.

Sì classico ma sempre carino. Questo è un esempio particolarmente semplice; la marginale $X$ viene una geometrica di parametro $lambda/(lambda +1)$ mentre la legge di $theta|X=5$ viene una $"Gamma"[6;lambda +1]$ (o una Erlang, come si preferisce chiamarla)

Sul forum me ne ricordo un paio davvero simpatici ma più articolati

[mobley]

Sì classico ma sempre carino.

Un amore guarda

@arnett Comunque dalla formula che hai scritto, da quanto ho capito, hai applicato la densità congiunta nel caso discreto per poi sostituire alla probabilità condizionata la ripartizione di $\Theta$ (portando dentro l'integrale la Poisson in quanto dipendente da $\theta$). Quindi:

$\mathbb(P)(X=x,\Theta=\theta):=\mathbb(P)(X=x)\mathbb(P)(\Theta=\theta|X=x)=\mathbb(P)(X=x)\int_(0)^(+\infty)f_(\Theta)(\theta)d\theta=\int_(0)^(+\infty)\mathbb(P)(X=x)f_(\Theta)(\theta)d\theta$

Se così è, beh… Mi sono limitato a sostituire le relative densità con $\lambda/(x!)$ fuori dall'integrale e ad integrare per parti ma arrivo a dire che

$\int_(0)^(+\infty)(e^(-\theta)\theta^x)/(x!)\lambda e^(-\lambda\theta)d\theta=e^(-\theta(\lambda+1))/((\lambda+1)-1)$

Sicuramente avrò sbagliato qualche calcolo o forse tutta l'impostazione non lo so…

In ogni caso mi interessa l'approccio: parto dalla densità congiunta discreta e alla probabilità condizionata sostituisco la densità continua. E' giusto?

[mobley]

Non ho capito cosa hai fatto:

1. Non ho capito cosa c'entra la prima catena di eguaglianze con l'integrale che ti ho impostato e suggerito di calcolare
2. Il secondo integrale è impostato correttamente non so poi cosa ti sei perso nei conti, non c'è da integrare per parti: \[ \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-\theta}\theta^k}{k!}\lambda e^{-\lambda \theta} d\theta=\int_{0}^{+\infty} \lambda (\lambda+1)\frac{(\lambda+1)^{k+1-1}}{(\lambda+1)^{k+1}}\frac{\theta^{k+1-1}}{\Gamma(k+1)} e^{-(\lambda+1) \theta} d\theta=\frac{\lambda}{(\lambda+1)^{k+1}}.\]

Anzitutto grazie per i tuoi interventi, chiari e puntuali.

1. La prima catena di uguaglianze mira proprio a capire come impostare il problema "quando una è discreta e l'altra è continua", che è proprio l'oggetto del post. Cosa fare in questi casi? Come arrivare all'integrale che tu giustamente mi hai suggerito?
Bene: ho applicato la densità congiunta discreta (essendo la nostra "variabile di interesse" $X$ definita sul discreto) sfruttando la distribuzione della v. condizionata $\Theta$, perché nota. Ovvero:

$\mathbb(P)(\Theta|X=x):=(\mathbb(P)(X=x,\Theta=\theta))/(\mathbb(P)(X=x))rArr \mathbb(P)(X=x,\Theta=\theta):=\mathbb(P)(X=x)\mathbb(P)(\Theta=\theta|X=x)$

Ora, $f_(\Theta)(\theta):={ ( \lambdae^(-\lambda\theta) ),( 0 ):}{: ( se ),( se ) :}{: ( \theta>0 ),( \theta<=0 ) :}$ mentre $X$ (in qualità di variabile dipendente da $\Theta$) è definita su $\mathbb(N)$: ciò significa che l'intervallo di integrazione per $\Theta$ dovrà per forza essere $\mathbb(R)^+$. Quindi mi sono limitato a sostituire alla densità di $X$ una distribuzione di Poisson di parametro $\theta$, cioè $\mathbb(P)(X=x)=(e^(-\theta)\theta^x)/(x!)$ e alla densità di $\Theta$ una distribuzione Esponenziale di parametro $\lambda$, cioè appunto $f_(\Theta)(\theta)=\lambdae^(-\lambda\theta)$. Allora, siccome $\mathbb(P)(\Theta=\theta|X=x)rArr \mathbb(P)(0<=\Theta<=+\infty):=\int_(0)^(+\infty)\lambdae^(-\lambda\theta)d\theta$, ottengo:

$\mathbb(P)(X=x,\Theta=\theta):=\mathbb(P)(X=x)\mathbb(P)(\Theta=\theta|X=x)=(e^(-\theta)\theta^x)/(x!)\int_(0)^(+\infty)\lambdae^(-\lambda\theta)d\theta$

Ma siccome $X$ dipende da $\theta$ devo portarlo dentro l'integrale. Ecco lì l'integrale.

2. Dunque se l'integrale è giusto vedo di rifare con più calma i calcoli.

[tommik]

\[ \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-\theta}\theta^k}{k!}\lambda e^{-\lambda \theta} d\theta=\int_{0}^{+\infty} \lambda (\lambda+1)\frac{(\lambda+1)^{k+1-1}}{(\lambda+1)^{k+1}}\frac{\theta^{k+1-1}}{\Gamma(k+1)} e^{-(\lambda+1) \theta} d\theta=\frac{\lambda}{(\lambda+1)^{k+1}}.\]

Capisco che sia una questione di gusti ma a me pare più semplice passare per la gamma di eulero, senza rifarsi alla distribuzione Gamma


$int_0^(oo)e^(-theta)theta^x/(x!)lambdae^(-lambdatheta)d theta=lambda/(x!)int_0^(oo)theta^xe^(-(lambda+1)theta)d theta=lambda/(x!) 1/(lambda+1)^(x+1) int_0^(oo) [theta(lambda+1)]^xe^(-(lambda+1)theta)d[theta(lambda+1)]=lambda/(lambda+1)^(x+1)$

dato che ora l'integrale vale $x!$

Per trovare l'altra condizionata, semplicemente con la definizione (o teorema di Bayes) basta sostituire ed immediatamente si riconosce la condizionata di interesse, una distribzione Gamma (o Erlang, dato che il parametro di forma $in NN$)

Ad ogni modo, come rimarcato, è una questione di gusti personali

Capire che la distribuzione marginale ora è una geometrica è immediato:

$lambda/(lambda+1)^(x+1)=lambda/(lambda+1)[1-lambda/(lambda+1)]^x$

che è come dire

$mathbb{P}[X=x]=p*q^x*mathbb{1}_({0;1;2;...})(x)$