Esercizio inferenza statistica Bayesiana

[tommik]

Esercizio

<<Un lotto contiene un gran numero di pezzi di due tipi: buoni $(B)$ e difettosi $(D)$. La frazione $\theta$ di pezzi buoni ha una distribuzione iniziale del tipo

$\beta(\theta)={(k/\theta,1/2<=\theta<=1),(0, text{altrove}):}$

Si estraggono 4 pezzi, ottenendo $x = (B,B,B,B)$. Determinare, utilizzando per la verosimiglianza l'approssimazione binomiale, la distribuzione finale di $\theta$ e dare una "stima" $\hat\theta$ di $\theta|x$>>.

Non so proprio dove andare a parare con la binomiale, non avendo il numero di pezzi. Come dovrei procedere per la risoluzione??

Grazie in anticipo per l'attenzione!

[tommik]

E' un esercizio base di Statistica Bayesiana...se non sai dove andare a parare devi studiare prima la teoria.

La distribuzione iniziale è¹ $b(theta) prop 1/theta$; $1/2<=theta<=1$

la verosimiglianza è binomiale quindi $p(ul(x)|theta) prop theta^(k)(1-theta)^(n-k)$ ovvero nel tuo caso, avendo 4 successi su 4, la verosimiglianza è proporzionale a $theta^4$

la distribuzione finale (distribuzione iniziale $xx$ verosimiglianza) è $b(theta|ul(x)) prop theta^3$

normalizzando ottieni la distribuzione finale

$b(theta|ul(x))=64/15theta^3$

Una possibile stima Bayesiana di $hat(theta)$ è la media a posteriori

$hat(theta)=mathbb{E}[theta|ul(x)]=int_(1/2)^(1) 64/15theta^4d theta=62/75$

Se può interessare l'argomento ho scritto anche un breve tutorial sulla prova delle ipotesi in logica bayesiana....dovrei farne un altro sulla stima ma non ho tempo

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Note

1. trattasi di distribuzione non informativa "alla Jeffreys " ↑

[michelarusso2019]

Grazie per la soluzione, ho capito cosa mi bloccava, ossia il fatto di confondere il numero totale di pezzi con il numero di estrazioni che invece entra in gioco nella binomiale, non so come abbia fatto!
Grazie anche per il tutorial suggerito.