Esercizio sulla distribuzione normale

[Ros4]

Buongiorno a tutti,
questa settimana il mio professore di statistica ha dato una serie di problemi da svolgere.
Onestamente c'è un esercizio che proprio non capisco (considerate che questo è il mio primo esame di statistica, ergo la mia conoscenza è veramente limitata).
Di seguito trovate sia il testo dell'esercizio, sia il mio tentativo di risolverlo.

Esercizio:
Ogni anno i corridori di lunga distanza sembrano stabilire nuovi record. Se il tempo medio attuale per gli atleti del college è di 4 minuti e 32 secondi (per 1 miglio), con una deviazione standard di 1 minuto, scopri cosa ci si può aspettare dal top 2% dei corridori. Se la tua risposta ti sembra irragionevole (e dovrebbe), come spieghi cosa è successo?

La mia soluzione:
sapendo che i corridori nel top2% si trovano nella parte a destra della coda di una distribuzione normale, il valore Z da trovare è quello che mi restituisce un valore del 2%. Inoltre, sapendo che la tabella dei valori di Z fa riferimento al valore a sinistra di zeta e io sono interessata ai valori a destra di z, vuol dire che la percentuale da trovare sarà 98% (z-score=2.06).
Usando la formula z= ( x - μ )/ σ posso trovare il valore di x (che dovrebbe corrispondere al tempo impiegato dal 2% dei migliori corridori).
x = 6 min e 36sec

Dopo questo risultato mi chiedo:

1) Dovevo guardare dal lato sinistro della distribuzione? (e quindi cercare il valore di z corrispondente al 2%? Questo dovrebbe restituirmi un valore di z negativo e quindi di conseguenza avrei un valore di x inferiore alla media);
2) quando in un esercizio ti dicono di trovare i migliori risultati di un test, questi valori si cercano nel lato destro della distribuzione, per tanto mi sembra logico cercare i migliori corridori nel lato destro della distribuzione normale, però il mio risultato è strano.
Onestamente sono confusa e non capisco quale sia la risposta corretta. Per favore, mi aiutate a capire?

[tommik]

2) quando in un esercizio ti dicono di trovare i migliori risultati di un test, questi valori si cercano nel lato destro della distribuzione, per tanto mi sembra logico cercare i migliori corridori nel lato destro della distribuzione normale, però il mio risultato è strano.

ma che è....'no scherzo? Ovviamente si guarda il lato sinistro....


Oggi fai una prova, mentre torni a casa da scuola chiedi a chiunque incontri per strada¹: "c'è un gruppo di persone che corre per un miglio; per stabilire chi ha corso più veloce chi devo prendere, quelli che ci hanno messo meno tempo o quelli che ce ne hanno messo di più?"

Vedi cosa viene risposto.... e poi rifletti!

Ma la cosa più aberrante è usare una gaussiana per risolvere il problema...viene fuori che i top 2% corre per un miglio alla strabiliante velocità media di 38.93 km/h quando il record sui 1000 m piani (che non è nemmeno un miglio ma poco più della metà)...è di 29.95 km/h

Oltretutto ho letto e riletto l'esercizio molte volte e ti giuro che non ho letto da nessuna parte...il tempo impiegato di distribuisce come una normale di media ecc ecc

Per favore, dalla prossima volta, le formule

Grazie

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Note

1. bada bene, non ti ho detto di chiedere a colleghi universitari eh...chiedi al postino, a quello che consegna le pizze, al portinaio di uno stabile, al ragazzo che lavora al bar ecc ecc ↑

[Ros4]

Chiedo scusa per le formule.

Prometto che la prossima volta vedrò di far funzionare meglio il cervello (devo confessare che anche i miei compagni di corso hanno “ragionato” come me. Mi sa che scienze politiche rovina la mente degli studenti ).

Riguardo all'uso della gaussiana, la spiegazione è che il professore ha detto che gli esercizi erano tutti riferiti alla distribuzione normale. Per tanto non mi sono posta nessun problema sul fatto che non ci fosse scritto che il tempo impiegato seguisse una distribuzione normale.

[tommik]

Dunque, premesso che:

1) il consiglio principe è quello di mantenere sempre il contatto con la realtà durante lo svolgimento di un esercizio, sia esso un compitino scolastico o un problema reale che affronterete nella vostra vita professionale (che auguro ovviamente florida)

2) per quanto riguarda la Statistica, ricordate che la Distribuzione Gaussiana si può usare solo e soltanto nei seguenti casi:

$" "$a) se tale ipotesi viene espressamente statuita dalla traccia (ovviamente ciò non vi esime dal
$" "$controllare che i risultati ottenuti siano realistici e coerenti),

$" "$b) se tale applicazione è coadiuvata da un test sui dati sperimentali che ne garantisca la buona
$" "$applicabilità (es: test non parametrico di buon adattamento dei dati alla distribuzione scelta),

$" "$c) se l'applicazione della Gaussiana è garantita invocando l'applicazione di alcuni Teoremi Limite,
$" "$come ad esempio il TLC. In tale caso non si ottiene MAI il risultato esatto ma una buona approssimazione.

Nel caso in esame l'applicazione della distribuzione Normale è del tutto arbitraria e quindi illecita in quanto

a') non è scritto da nessuna parte che i tempi di percorrenza sono estratti da una popolazione normale

b') non siamo in possesso dei dati grezzi delle percorrenze ma solo di due indicatori sintetici (media e varianza)

c') non vi sono le condizioni per applicare il Teorema Centrale del Limite.

Oltretutto, con una semplice osservazione, si vede subito che la Gaussiana non è la distribuzione adatta per approssimare i dati: il range della normale¹ vale infatti $6sigma$, ed in particolare è $mu+-3sigma$; in altre parole, applicando la gaussiana, accettiamo il fatto che, al $99.7%$, i tempi di percorrenza per $1.609$ km (1 miglio) vanno da

$1.5<=X<=7.5$ minuti....percorrere 1 miglio in un minuto e mezzo significa correre (sempre, per tutto il miglio) a $1609/90xx3.6=64.36$ km/h

Mi sa che scienze politiche rovina la mente degli studenti ).

Questa è una tua opinione, io non mi permetterei mai di trarre simili generiche conclusioni; al contrario, mi pare che il docente vi stia stimolando verso il giusto modo di ragionare.

Se la tua risposta ti sembra irragionevole (e dovrebbe), come spieghi cosa è successo?

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Note

1. $6 sigma$ per convenzione, in realtà sarebbe almeno $7sigma$ ↑