Siano $X_j$, $j \geq 1$ v.a. integrabili e $\mathcal{F_n} = \sigma(X_j, 1 \leq j \leq n), n \geq 0$ la loro filtrazione naturale.
Data la v.a. $Z_0=0$, $Z_n=\sum_{j=0}^{n-1} (X_{j+1}- E[x_{j+1}|\mathcal{F}_j])$,
si mostri che $(Z_n)_{n \geq 0}$ è una $(\mathcal{F_n})_{n \geq 0}$-martingala
Chiaramente vanno verificate le tre proprietà (M1,M2,M3), che sono: assoluta integrabilità di $Z_n$, $Z_n$ è $\mathcal{F_n}$-adattata per ogni $n$, e $E[Z_{n+1}|\mathcal{F_n}]=Z_n$.
(M1): $E[|Z_n|] \leq \sum_j E[|X_{j+1}|] + E[ \sum_j |E[X_{j+1}|\mathcal{F_j}]| ]$, dove ho usato la disuguaglianza triangolare. Ora, il primo termine è chiaramente finito per ipotesi. Come posso giustificare adeguatamente che anche l'altro è finito?
(M2) Innanzitutto, per ogni $j$, $X_j: (\Omega, \mathcal{A}) \rightarrow (S, \mathcal{S})$
Qui non saprei proprio come fare a mostrare che $Z_n$ è $\mathcal{F_n}$ misurabile. Dovrei mostrare che per ogni $B \in \mathcal{S}$, la somma dei $\{ X_{j+1} - E[X_{j+1}| \mathcal{F_j}] \in B \} \in \mathcal{A}$. Vorrei scrivere tale insieme in modo opportuno per usare il fatto che $\{ X_{j+1} \in B} \in \mathcal{A}$ poichè $X_{j+1}$ è v.a, ma non saprei comunque come comportarmi con quel valore atteso.
(M3) $E[Z_{n+1}|\mathcal{F_n}]= E[Z_n|\mathcal{F_n}] + E[ X_{n+1}- E[X_{n+1}|\mathcal{F_n}]| \mathcal{F_n}]= Z_n + E[X_{n+1}|\mathcal{F_n}] - E[E[X_{n+1}|\mathcal{F_n}]|\mathcal{F_n}]=Z_n$
dove nell'ultimo passaggio i due valori attesi si sono elisi.