Rapporto tra gamma indipendenti

[mobley]

Allora… Teoria vuole che se $X~Gamma(k;\theta)_|_ Y~Gamma(l;\theta)$, la variabile $X/(X+Y)~ B(k;l)$. Bene. So che se $X_|_Y$ vale la formula per il rapporto di v. indipendenti $f_Z(z):=\int_(\mathbb(R))|x|f_X(x)f_Y(zx)dx$, che però è inapplicabile in questo caso perché $X+Y$ non è indipendente da $X$ (anzi, ne è funzione). Allora ho seguito l'indizio del docente che ha considerato la trasformazione $x+y=s$ e $x/(x+y)=r$.
1) In base a quale stregoneria ha detto di fare così? Come ci si arriva senza che te lo dicano?!? Boh…
Poi (giustamente) si è calcolato lo Jacobiano e la densità congiunta delle due operazioni $s=X+Y$ e $r=X/(X+Y)$ con la formula $f_(UV)(u,v)=f_X(x)f_Y(y)|det[J(x,y)]|$. Svolgendo i calcoli ottengo quindi il prodotto tra una certa $s=X+Y~Gamma(k+l;\theta)$ e una palese $r=X/(X+Y)~B(k;l)$ (da cui $s_|_r$) ma...
2) …a me rimane $(\Gamma(k+l))/(\Gamma(k)\Gamma(l))r^(k-1)(1-r)^(l-1)$, mentre dalla teoria so che dovrebbe esserci anche un $\int_(0)^(1)$. Che fine ha fatto?

EDIT:
Ciò che mi rimane è $(\theta^(k+l))/(\Gamma(k+l))s^(k+l-1)e^(-\thetas)xx(\Gamma(k+l))/(\Gamma(k)\Gamma(l))r^(k-1)(1-r)^(l-1)$

[tommik]

EDIT:
Ciò che mi rimane è $(\theta^(k+l))/(\Gamma(k+l))s^(k+l-1)e^(-\thetas)xx(\Gamma(k+l))/(\Gamma(k)\Gamma(l))r^(k-1)(1-r)^(l-1)$

1) è la tecnica classica della trasformazione $2 rarr 2$ che puoi trovare dettagliatamente su vari testi di calcolo delle probabilità di base

2) scritto diversamente (ed in modo più corretto¹) hai trovato che

$f_(SR)(s,r)=(\theta^(k+l))/(\Gamma(k+l))s^(k+l-1)e^(-\thetas)mathbb{1}_((0;+oo))(s)xx(r^(k-1)(1-r)^(l-1))/(B(k,l))mathbb{1}_((0;1))(r)$

...ovvero esattamente ciò che ti serve²

Osservazione: l'indipendenza fra $S=(X+Y)$ e $R=X/(X+Y)$ può essere dedotta anche a priori senza calcolare la distribuzione congiunta ma invocando opportuni teoremi.

A tal proposito propongo la seguente variante (che ho risolto sul forum tempo fa ma sempre interessante, secondo me)

Partendo da $n$ variabili $(X_1,...,X_n)$ i.i.d. $X_i~"Gamma"(1;theta)$ calcolare

$mathbb{E}[X_1/(Sigma_i X_i)]$

[R: $1/n$]

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Note

1. a volte per semplicità anche io tralascio le indicatrici, è un errore ma spesso è sottinteso e quindi si tralascia per non appesantire la notazione; se non ti è chiaro allora il sottinteso non è sufficiente ↑
2. per la definizione del dominio bivariato ti rimando ai numerosi esercizi che ti ho illustrato nei giorni scorsi ↑