Allora… Teoria vuole che se $X~Gamma(k;\theta)_|_ Y~Gamma(l;\theta)$, la variabile $X/(X+Y)~ B(k;l)$. Bene. So che se $X_|_Y$ vale la formula per il rapporto di v. indipendenti $f_Z(z):=\int_(\mathbb(R))|x|f_X(x)f_Y(zx)dx$, che però è inapplicabile in questo caso perché $X+Y$ non è indipendente da $X$ (anzi, ne è funzione). Allora ho seguito l'indizio del docente che ha considerato la trasformazione $x+y=s$ e $x/(x+y)=r$.
1) In base a quale stregoneria ha detto di fare così? Come ci si arriva senza che te lo dicano?!? Boh…
Poi (giustamente) si è calcolato lo Jacobiano e la densità congiunta delle due operazioni $s=X+Y$ e $r=X/(X+Y)$ con la formula $f_(UV)(u,v)=f_X(x)f_Y(y)|det[J(x,y)]|$. Svolgendo i calcoli ottengo quindi il prodotto tra una certa $s=X+Y~Gamma(k+l;\theta)$ e una palese $r=X/(X+Y)~B(k;l)$ (da cui $s_|_r$) ma...
2) …a me rimane $(\Gamma(k+l))/(\Gamma(k)\Gamma(l))r^(k-1)(1-r)^(l-1)$, mentre dalla teoria so che dovrebbe esserci anche un $\int_(0)^(1)$. Che fine ha fatto?
EDIT:
Ciò che mi rimane è $(\theta^(k+l))/(\Gamma(k+l))s^(k+l-1)e^(-\thetas)xx(\Gamma(k+l))/(\Gamma(k)\Gamma(l))r^(k-1)(1-r)^(l-1)$