Dato che non hai specificato quali parametri della Gaussiana sei interessato a stimare allora parametrizzo il problema nel modo che mi conviene di più:
Facciamo inferenza sulla seguente famiglia di distribuzioni Gaussiane
$p(x|theta_1,theta_2)=sqrt(theta_2/(2pi))Exp{-theta_2/2(x-theta_1)^2}$
$x in RR$; $theta_1 in RR$;$theta_2 in RR^+$;
Ovvero su una famiglia di distribuzioni Gaussiane con vettore di parametri $ul(theta)=(theta_1,theta_2)$ dove $theta_1$ rappresenta la media mentre $theta_2=1/sigma^2$ rappresenta la precisione della distribuzione.
Cosi impostato, possiamo assumere come Prior una distribuzione Normal-Gamma del tipo
$h(theta_1,theta_2)=sqrt(tau/(2pi))beta^alpha/(Gamma(alpha))theta_2^(alpha-1/2)e^((-tau theta_2)/2(theta_1-mu)^2) e^(-beta theta_2)$
con $(theta_1,theta_2) in RR xx RR^+$
Integrando la Prior rispetto a $theta_1$ otteniamo facilmente la marginale
$h(theta_2)$ che è una $"Gamma"(alpha;beta)$
e di conseguenza otteniamo subito anche la distribuzione condizionata
$h(theta_1|theta_2)=(h(theta_1;theta_2))/(h(theta_2))$ che è una Gaussiana di media $mu$ e precisione $tau theta_2$
A questo punto è immediato dedurre che
$mathbb{E}[theta_1]=mathbb{E}_(theta_2)[mathbb{E}_(theta_1)(theta_1|theta_2)]=mu$
$mathbb{E}[theta_2]=alpha/beta$
A conti fatti, moltiplicando la Prior per la verosimiglianza e manipolando opportunamente il prodotto, troverai che la Distribuzione finale è ancora una Normal-Gamma dove però al posto di
$mu$ abbiamo $mu_1=(tau mu+nbar(x))/(tau+n)$
$tau$ abbiamo $tau_1=tau+n$
$alpha$ abbiamo $alpha_1=alpha+n/2$
$beta$ abbiamo $beta_1=beta+1/2 Sigma_i(x_i-bar(x))^2+ (n tau(bar(x)-mu)^2)/(2(tau+n))$
Una stima puntuale bayesiana opportuna è la media della distribuzione a posteriori e quindi concludiamo che:
$hat(theta)_1=mathbb{E}[theta_1|ul(x)]=(tau mu+nbar(x))/(tau+n)$
$hat(theta)_2=mathbb{E}[theta_2|ul(x)]=(alpha+n/2)/(beta+1/2 Sigma_i(x_i-bar(x))^2+ (n tau(bar(x)-mu)^2)/(2(tau+n)))$
Se invece sei interessato a stimare media e varianza devi usare come prior una Normal-Gamma inversa ma il procedimento è il medesimo oppure puoi usare i risultati che ti ho indicato e stimare la varianza usando la relazione che lega la Normal-Gamma con la Normal-Gamma inversa