Un ladro dilettante valuta se riuscirà o meno a rubare in un certo negozio. I poliziotti passano fuori dal negozio secondo un processo di Poisson di tasso $\lambda$ al minuto. Se un poliziotto passa mentre il ladro sta rubando, questo verrà catturato.
a) se ci vogliono $s$ secondi per commettere un furto, qual'è la probabilità che il ladro venga catturato?
b) Ripeti il calcolo sotto l’ipotesi che occorrano due poliziotti presenti per poter arrestare il ladro.
a) se ci vogliono $s$ secondi per commettere un furto, qual'è la probabilità che il ladro venga catturato?
b) Ripeti il calcolo sotto l’ipotesi che occorrano due poliziotti presenti per poter arrestare il ladro.
Il punto b) manco l'ho guardato, mi sono concentrato a capire il punto a). Allora…
Fissato $T={$il ladro viene arrestato$}$ e $X={$tempo di passaggio dei poliziotti$}$, inizialmente avevo fatto:
$\mathbb(P)(T>0)=\mathbb(P)(X>s)=1-\mathbb(P)(X<=s)=1-[\mathbb(P)(X=s) uu \mathbb(P)(X<s)]=…$
Siccome $X~ Po(\lambda)rArr S(X)={\mathbb(N)}rArr \mathbb(P)(X<s)=O/ $ e poiché minuti$=s/60$secondi:$...=1-\mathbb(P)(X=s)=1-(e^(-s/60)(s/60)^s)/(s!)$
Poi ho pensato che, in realtà, l'istante di inizio della rapina è un $t$ generico (nel senso che la rapina avviene nell'intervallo $(t,t+s)$), per cui non conta l'istante di inizio (e quindi per questo potrei anche assumere che $t=0$). Ciò significa che interviene la stramaledettissima assenza di memoria.
Quindi come cambia la soluzione che avevo scritto all'inizio?
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Dopo quasi due mesi solo su 'sta materia gli esercizi riesco ad impostarli quasi tutti, tranne quelli con la Poisson. Questi mi mettono sempre in crisi maledizione