Probabilità paia di scarpe

[3m0o]

Un magazzino contiene \(n \) paia di scapre. Se selezioniamo \(2r \) scarpe a caso con \( 2r < n \) qual'è la probabilità di avere
i) nessun paio completo
ii) esattamente un paio è completo

Questo il mio ragionamento.
i) Nel magazzino vi sono \( 2n \) scarpe, e diciamo che i paia sono
\( (a_{1,s},a_{1,d}), \ldots, (a_{n,s},a_{n,d} ) \) dove \( a_{i,s} \) rappresenta la scarpa sinistra del \(i\)-esimo paio, e rispettivamente \( a_{i,d} \) rappresenta la scarpa destra del \(i\)-esimo paio.
Pertanto la prima scarpa è presa casualmente tra le \(2n \) scarpe, diciamo che abbiamo scelto \( a_{j,A} \) con \( 1\leq j \leq n \) e \( A \in \{s,d\} \). Ora per non avere nessun paio di scarpe completo possiamo scegliere \(2n-2 \) scarpe tra le \(2n-1\) scarpe rimanenti, poiché non possiamo scegliere la scarpa \( a_{j,B} \) con \( B \in \{s,d\} \setminus \{ A \} \). Iterando questo ragionamento abbiamo che
\[ P\{\text{nessun paio completo} \} = \frac{(2n-2r)!}{(2n)!} \prod\limits_{\ell=0}^{2r-1} (2n-2\ell) \]

ii) Abbiamo esattamente \( \binom{n}{1 }\) modi di scegliere un paio tra gli \(n \) paia. E poi il problema diviene calcolare la probabilità che nessun paio è completo tra \(n-1 \) paia di scarpe e scegliendo casualmente \(2r-2 \) scarpe, pertanto
\[ P\{\text{esattamente 1 paio è completo} \} = \binom{n}{1 }\frac{(2n-2-(2r-2))!}{(2n-2)!} \prod\limits_{\ell=0}^{2r-3} (2n-2 -2\ell) =\binom{n}{1}\frac{(2n-2r)!}{(2n-2)!} \prod\limits_{\ell=1}^{2r-2} (2n-2\ell) \]

Vi sembra corretto?
Io assumo che i paia di scarpe siano a due a due distinti, e non che l'unico modo di pescare delle scarpe in modo da non completare nessun paio sia di pescare tutte le scarpe sinistre o tutte le scarpe destre. Anche perché potremmo avere misure di scarpe diversi e marche di scarpe diversi, o addirittura colori diversi, ma non so se la mia assunzione sia corretta.

[tommik]

Ho dato un'occhiata al tuo svolgimento ed il primo punto mi torna ma il secondo no: è evidentemente sbagliato. Prendi ad esempio $n=5;r=2$ ed ottieni

$5xx((10-4)!)/((10-2)!)[(10-2)(10-4)]=30/7$ ... che non può essere una probabilità

Invece di correggere il tuo approccio, provo a propor(vi) un percorso diverso.

Le combinazioni possibili selezionando $2r$ scarpe da un insieme di $2n$ scarpe sono evidentemente

$((2n),(2r))$

Punto 1)
Per calcolare i casi favorevoli inziamo ad osservare che la seguente realizzazione è sicuramente favorevole

$ underbrace(((2),(1))((2),(1))...((2),(1)))_(2r " volte") xx underbrace(((2),(0))((2),(0))...((2),(0)))_((n-2r) " volte")=2^(2r)$

Dato che i $((2),(1))$ si possono combinare in $((n),(2r))$ modi diversi negli $n$ posti disponibili, il risultato del punto 1) è semplicemente

$mathbb{P}["nessun paio completo"]=2^(2r)/(((2n),(2r)))((n),(2r))$

Tale risultato coincide con il tuo ma è stato ottenuto con un ragionamento più "statistico" (l'ho risolto in un minuto senza fare troppi conti o iterazioni ma semplicemente usando la distribuzione ipergeometrica) ed è sicuramente espresso in modo più compatto.

A questo punto immediatamente trovi anche la soluzione corretta al

Punto 2)
Infatti, una realizzazione favorevole è questa:


$ underbrace(((2),(2)))_(1 " volta")xx underbrace(((2),(1))((2),(1))...((2),(1)))_((2r-2) " volte") xx underbrace(((2),(0))((2),(0))...((2),(0)))_((n-2r+1) " volte")=2^(2r-2)$

E quindi subito trovi

$mathbb{P}["esattamente un paio completo"]=2^(2r-2)/(((2n),(2r)))xxnxx((n-1),(2r-2))$

Un buon esercizio per fare pratica con questo metodo può essere questo

[3m0o]

Evidentemente il punto 2) è sbagliato, ma non capisco dove si nasconde il mio ragionamento fallace...