Dubbio varianza stimatori

[anonymous_58f0ac]

Buonasera!

Ho ripreso a studiare Statistica e sto svolgendo un esercizio. Purtroppo non sono riuscito a risolverlo, ho guardato la soluzione, e non l'ho capita.

Testo dell'esercizio:

"Sia $X_1 , X_2, X_3, X_4$ un campione casuale estratto da una popolazione di media $mu$ e varianza uguale a $1$.
Si considerino i seguenti stimatori della media e della popolazione

$T_1= 1/2X_1 + 1/8X_2+ 1/4X_3+ 1/8X_4$

e

$T_2= 1/2 bar(X)$ con $bar(X)=text(media campionaria)$

Calcolare le varianze dei due stimatori."


Soluzione:

$Var(T_1)= 1/4+1/64+1/16 + 1/64$

$Var(T_2)= 1/4 * 1/4$



Premetto che non ho capito proprio capito il perché di ciò.
Dubbi:

Da dove salta fuori questo metodo per calcolare la varianza degli stimatori? Sul mio libro non vi è traccia di ciò.
Basta fare, per ogni $a_iX_i$,
$sum a_i^2 sigma^2$ ???

E come mai per $Var(T_2)$ non è così? Per la varianza campionaria devo fare altro?

[ghira]

$T_2= 1/2 bar(X)$ con $bar(X)=text(media campionaria)$

$bar(X)=(X_1+X_2+X_3+X_4)/4$

E per l'altra domanda, https://it.wikipedia.org/wiki/Varianza# ... raslazione

Il tuo libro non ne parla? Sei proprio sicuro?

[anonymous_58f0ac]

$T_2= 1/2 bar(X)$ con $bar(X)=text(media campionaria)$

$bar(X)=(X_1+X_2+X_3+X_4)/4$

E per l'altra domanda, https://it.wikipedia.org/wiki/Varianza# ... raslazione

Il tuo libro non ne parla? Sei proprio sicuro?

"Invarianza per traslazione"

Io in generale so che

$Var(aX+b)= a^2 Var(X)$

Tuttavia, dato che veniva chiesta la varianza dello stimatore, pensavo dovessi comportarmi in modo diverso.

[ghira]

Io in generale so che

$Var(aX+b)= a^2 Var(X)$

E $Var(A+B)=Var(A)+Var(B)$ se $A$ e $B$ sono indipendenti. Ti servono solo queste due informazioni. E la definizione di $\bar(X)$