Densità congiunta

[anonymous_f3d38a]

Buonasera a tutti,

Vi propongo un esercizio che non so risolvere:

La densità congiunta di $X$ ed $Y$ è:

$f(x,y)= { (2 se 0<x<y<1 ),( 0 altrimenti):} $

Viene chiesto di calcolare la densità di $X$ e di $Y$.

Io ho scritto ciò:

$f(x)= int_(-oo )^(+oo) f(x,y) dy = int_(0 )^(x) f(x,y)dy + int_(x )^(y) f(x,y)dy + int_(y)^(1) f(x,y)dy= 2 $

E, equivalentemente,

$f(y)= int_(-oo )^(+oo) f(x,y) dx = int_(0 )^(x) 2dx + int_(x )^(y) 2dx + int_(y)^(1) 2dx= 2 $

Scontato dire che questo sia errato.
Le soluzioni del libro sono

$f(x)=2-2x$
$f(y)=2y$

Qualcuno saprebbe mostrarmi dove sbaglio?

[tommik]

$f_X(x)=int_x^1 2 dy=2-2x$

$f_Y(y)=int_0^y 2 dx=2y$

Per esser più corretti occorre scrivere così

$f_X(x)=[2-2x]mathbb{1}_((0;1))(x)$


$f_Y(y)=2y mathbb{1}_((0;1))(y)$

[anonymous_f3d38a]

$f_X(x)=int_x^1 2 dy=2-2x$

$f_Y(y)=int_0^y 2 dx=2y$
...

Come mai nel primo integrale integrao tra $x$ ed $1$ e nel secondo tra $0$ ed $y$???

[tommik]

Per capire dove integrare basta guardare il dominio che hai scritto tu..

$0<x<y<1$

E' scritto lì che $x in (0;y)$ mentre $y in (x;1)$

quindi per calcolare la marginale X integri in Y e viceserva

[anonymous_f3d38a]

Per capire dove integrare basta guardare il dominio che hai scritto tu..

$0<x<y<1$

E' scritto lì che $x in (0;y)$ mentre $y in (x;1)$

quindi per calcolare la marginale X integri in Y e viceserva

già!!! grazie mille tommik