Standardadizzare variabile aleatoria

[anonymous_b7df6f]

Ciao a tutti!!

Ho due variabili aleatorie con distribuzione normale

$X_1 ~ N(2 ; 1,5)$ & $X_2 ~ N(2 ; 1,5)$

mi viene chiesto di calcolare $P(X_1^2 + X_2^2 > 9)$

Ho le tavole per la distribuzione normale standard e chi quadrato, tuttavia non so come standardizzare la suddetta espressione in modo da poter utilizzare le tavole.
So in generale che $P(X<x_0) = P(Z < (x_0 - mu)/sigma) $, ma non sono in grado di applicarla in questo caso. Help!

Potreste mostrarmi i passaggi?

[tommik]

1) manca il testo dell'esercizio: "l'esercizio mi chiede di" ecc ecc non vuol dire nulla, per esempio non si dice se le due gaussiane siano o meno indipendenti.

2) E' OBBLIGATORIO SCRIVERE TUTTO IL TESTO: PUNTEGGIATURA, AGGETTIVI ED AVVERBI INCLUSI.....CHIARO??

Se non sei in grado nemmeno di impostare il problema come pensi di essere in grado di filtrare le informazioni che ti vengono fornite e stabilire quali informazioni siano utili alla soluzione e quali invece inutili?


Ad ogni modo, anche supponendo l'indipendenza delle variabili, non è facilissimo calcolare quella probabilità con le medie diverse da zero.

Se le medie fossero zero, ovvero le variabili gaussiane fossero centrate, il problema sarebbe davvero semplice e risolverersti subito con le tavole della chi quadro (ricordando come si distribuisce una gaussiana centrata al quadrato e la proprietà di riproducibilità della chi-quadro).

La stessa probabilità con la somma di gaussiane generiche al quadrato genera qualche problema ed occorre passare attraverso una chi-quadro non centrale (dopo averle ridotte, ovviamente).

Via standardizzazione di Wilson & Hilferty (1931) e le tavole della Gaussiana ho trovato una probabilità di circa $52.15%$

(sempre che non abbia fatto qualche errorino di calcolo, ovviamente)

idea della soluzione:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$mathbb{P}[X^2+Y^2>9]=mathbb{P}[U^2+V^2>6]$ dove ora $U,V$ sono gaussiane indipendenti e ridotte di media $2/sqrt(1.5)$

A questo punto la variabile $W=U^2+V^2$ è una chi-quadro non centrale con $k=2$ gdl e $lambda=16/3$ parametro di non centralità.

Utilizzando la standardizzazione proposta si ha che

$[W/(k+lambda)]^(1/3)~ N[1-sigma^2;sigma^2=(2(k+2lambda))/(9(k+lambda)^2)]$

Quindi risolvo con le tavole della normale.

Chiunque abbia altre idee più snelle è benvenuto e sarò felice di confrontarmi sul problema.

[anonymous_b7df6f]

1) manca il testo dell'esercizio: "l'esercizio mi chiede di" ecc ecc non vuol dire nulla, per esempio non si dice se le due gaussiane siano o meno indipendenti.

2) E' OBBLIGATORIO SCRIVERE TUTTO IL TESTO: PUNTEGGIATURA, AGGETTIVI ED AVVERBI INCLUSI.....CHIARO??

tommik ho scritto tutto il testo dell'esercizio, che è questo:

"Si considerino due variabili aleatorie con distribuzione normale

$X_1 ~ N(2 ; 1,5)$ & $X_2 ~ N(2 ; 1,5)$

si calcoli $P(X_1^2 + X_2^2 > 9)$."

Come mia consuetudine, non ho omesso niente.

Mi dispiaccio se il testo dell'esercizio non è di qualità, vengono dalle dispense di un professore.

[tommik]

Mi dispiaccio se il testo dell'esercizio non è di qualità, vengono dalle dispense di un professore.

...non ho parole. Scusa se mi sono infervorato ma non pensavo fosse possibile che un "professore" scrivesse¹ un testo in siffatta maniera. Spero solo che il problema sia riconducibile ad una errata copiatura delle dispense da parte di qualche assistente distratto.

La soluzione te l'ho messa, non riesco a vedere una strada più semplice.

Magari ha anche sbagliato la traccia....risolvilo con le due gaussiane indipendenti e media nulla,

$X,Y$ i.i.d. $N(0;3/2)$


così è più abbordabile e più utile per utilizzare le proprietà che legano fra loro le due distribuzioni (Gaussiana e chi quadro)

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Note

1. mi spiace ma le virgolette sono d'obbigo visto il testo del problema ↑

[anonymous_f3d38a]

Mi dispiaccio se il testo dell'esercizio non è di qualità, vengono dalle dispense di un professore.

...non ho parole.

Conosco anonymous_be0efb ed ho anche io quelle dispense.
Mi è stato riferito che durante una lezione è stato precisato che $X_1$ ed $X_2$ sono indipendenti.
Ma quindi se sono indipendenti come lo risolvereste voi? Così?

$P((((X_1^2-mu^2-2muX) + (X_2^2-mu^2-2muX))/sigma^2) > (9- 2*(mu^2 -2muX)/sigma^2))$

$= P(chi_2^2 >(9- 2*(mu^2 -2muX)/sigma^2))$

[tommik]

E chiedere di risolverlo con le tavole mi pare sadico

Sadico o no con carta, penna e le tavole cartacee della gaussiana ho trovato un'approssimazione di $52,15%$ contro il valore esatto di $53,06794%$ calcolato da te col compiuter... alla fine dei conti stiamo parlando di una % e quindi mi pare un risultato accettabile (spesso viene poi tradotto in: un po' più del 50%).

EDIT
Oltretutto penso che scopo della Statistica sia proprio quello di arrivare ad un risultato quanto più "simile" a quello vero con il minimo dei mezzi a disposizione e l'esercizio in questione ne è un ottimo esempio (IMHO, ovviamente)