"Si consideri un campione iid $(X_1,X_2,X_3)$ selezionato da una popolazione per la quale il valore atteso è $E(X)= 0,8$ e $Var(X) =0,4$.
Si considerino i due stimatori $T_1$ e $T_2$
$T_1= (X_1 + X_2)/2$
$T_2= (X_1 + X_2+ X_3)/3$
si dica quale dei due stimatori è migliore e perché."
Io ho scritto:
per $T_1$
$E(T_1) = E((X_1 + X_2)/2) = 0,8$
$Var(T_1)= Var((X_1 + X_2)/2)= (0,4)/2= 0,2$
per $T_2$
$E(T_2) = E((X_1 + X_2+X_3)/3) = 0,8$
$Var(T_2)= Var((X_1 + X_2+X_3)/3)= (0,4)/3= 0,133$
...Ora che ho fatto tutti i calcoli....
per ogni stimatore, l'errore quadratico medio $MES$ è uguale a
$MES(T)= Var(T) + (E(T)-mu)^2$
Dal momento che $MES(T_2)= 0,133$ e $MES(T_1)= 0,2$
e quindi $MES(T_2)<MES(T_1)$, giungo alla conclusione che è migliore lo stimatore $T_2$.
Siete d'accordo? Pensate che abbia detto qualche cavolata?