Esercizio su media su variabili aleatorie "composte" 2 metodi quale giusto?

[MrChopin]

Ho usato in questo esercizio due approcci.
Il primo credo sia fatto bene invece nel secondo credo ci siano degli errori di base e vorrei capire cosa sbaglio e soprattutto cosa non ho capito.
Però paradossalmente entrambi mi danno "lo stesso risultato".

Ecco la traccia:

Si supponga che la durata $ X $, espressa in secondi, di una telefonata da un cellulare sia una variabile aleatoria esponenziale $ X ~ Exp(lambda) $, con media $ E(X)=180 $. Il gestore A offre un piano tariffario a 3 lire al secondo con scatto di 200 lire alla risposta (lo scatto alla risposta include i primi 3 secondi conversazione), per cui il costo della telefonata (in lire) si esprime come:

$ Y_A= {( 200; 0<X<=3 ),( 200+3(X-3); X>3 ):} $

Il gestore B offre un piano tariffario a 4 lire al secondo senza scatto alla risposta, per cui il costo della telefonata (in lire) si esprime semplicemente come:

$ Y_B=4X $.

Stabilire qual'è il piano tariffario più conveniente con riferimento al costo medio di una telefonata.


I METODO:

Sfruttando il teorema fondamentale della media dove $ Y=g(X) $ allora:

$ E[Y]=E[g(X)]= int_(-oo)^(oo) g(X)f_X(x) dx $

Mi calcolo il costo medio del primo gestore, cioè la media della variabile $ Y_A $:
Considerando innanzitutto che la variabile che rappresenta la durata di una telefonata in secondi, cioè:

$ X ~ Exp(lambda) $ cioè $ f(x)=lambdae^(-lambdax)u(x) $ nel caso dell'operatore A l'ho considerata pari a:

$ f(x)=3e^(-3x)u(x) $

Quindi mi calcolo la media dell'operatore A:

$ E[Y_A]=E[g(X)]= int_(-oo)^(oo) g(X)f_X(x) dx = int_(0)^(3) 200(3e^(-3x)) dx + int_(3)^(oo) 200+3(x-3)(3e^(-3x)) dx = $
$ = -200[ (e^(-3x))]_(0)^(3) -200[ e^(-3x)]_(3)^(oo)+9[ e^(-3x)]_(3)^(oo)+int_(3)^(oo) 9x3e^(-3x) dx= $
$ = -0.03+200+0.03-0.001+3[-3(1/3)xe^(-3x)]_(3)^(oo)+3int_(3)^(oo)-3e^(-3x) dx=$
$ = 199.999+0.001-3[(1/3)e^(-3x)]_(3)^(oo)=200+0.0001~~200$

Mi calcolo il costo medio del secondo gestore, cioè la media della variabile $ Y_B $.
Considerando innanzitutto che la variabile che rappresenta la durata di una telefonata in secondi, cioè:

$ X ~ Exp(lambda) $ cioè $ f(x)=lambdae^(-lambdax)u(x) $ nel caso dell'operatore B l'ho considerata pari a:

$ f(x)=4e^(-4x)u(x) $

Quindi mi calcolo la media dell'operatore B:

$ E[Y_B]=E[g(X)]= int_(-oo)^(oo) g(X)f_X(x) dx = int_(0)^(oo) 4x(4e^(-4x)) dx = $
$ = 4[-4(1/4)xe^(-4x)]_(0)^(oo)+4int_(0)^(oo) -4e^(-4x) dx = 0 +4[-(1/4)e^(-4x)]_(0)^(oo)= 1 $

Quindi in definitiva con il primo metodo (se ho fatto bene) dovrebbe essere che $ E[Y_B]<E[Y_A] $

II METODO:

Qui invece sfrutto il fatto che conosco $ E(X)=180 $ e sfrutto 2 proprietà della media cioè:

$ E[ag(X)+bh(X)]=aE[g(X)]+bE[h(X)] $

$ E(aX+b)=aE(X)+b$

Calcolo il costo medio dell'operatore A


Sapendo che:

$ Y_A= {( 200; 0<X<=3 ),( 200+3(X-3); X>3 ):} $

definisco $ Y_(A1)=200; 0<X<=3 $ e $ Y_(A2)= 200+3(X-3); X>3 $

$ E[Y_(A2)]=[E(200 + 3(X-3)]=3E(X)+200-9=731$

qui non sono minimamente se ciò che ho fatto è giusto:

$ E[Y_(A1)]=[E(200)]=? $

Ho usato il valore che ho calcolato nel primo metodo e quindi $ E[Y_(A1)]=[E(200)]= 200-0.02=199.98 $

$ E[Y_(A)]= E[Y_(A1)]+ E[Y_(A2)]=731+199.98= 930.98 $


Calcolo il costo medio dell'operatore B


Sapendo che $ Y=4X $

$ E[Y_(B)]= E[4X]= 4E[X]=720 $

Quindi in definitiva con il secondo metodo dovrebbe essere che $ E[Y_B]<E[Y_A] $

Credo che in questo secondo metodo io abbia completamente sbagliato ad usare le proprietà.
Come potrei utilizzare le proprietà per svolgere facilmente questo esercizio? E soprattutto a cos'altro potrebbe servire quell'informazione $ E[X]=180 $ ?

[tommik]

Il primo credo sia fatto bene invece nel secondo credo ci siano degli errori di base e vorrei capire cosa sbaglio

Hai fatto errori in entrambi i metodi; entrambi possono essere utilizzati, basta applicarli correttamente. Di metodi ce ne sono anche altri ma il tuo compito dovrebbe essere quello di essere in grado di scegliere il metodo più snello e con meno conti.

E' chiaro che la media mica può cambiare a seconda del metodo utilizzato per calcolarla

E soprattutto a cos'altro potrebbe servire quell'informazione $ E[X]=180 $ ?

Serve per definire la densità di probabilità di $X$, cioè la durata della telefonata (che infatti hai sbagliato)

$f_X(x)=1/180 e^(-x/180)mathbb[1]_([0;oo))(x)$

Per il Gestore B va benissimo il secondo metodo $mathbb{E}[Y_B]=mathbb{E}[4X]=4xx180=720$

Volendo farlo col primo metodo avrai

$mathbb{E}[Y_B]=4int_0^(oo)x/180 e^(-x/180)dx=4xx180int_0^(oo)u e^(-u)du=4xx180xxGamma(2)=4xx180xx1=720$

Invece per Gestore A il metodo più semplice è il primo metodo (applicato correttamente)

$mathbb{E}[Y_A]=200+int_3^(+oo)(3(x-3))/180e^(-x/180)dx=...~~731.075$

Ecco un suggerimento su come svolgere questo integrale senza fare troppi conti (non è obbligatorio ma ti fa risparmiare un bel po' di tempo....)

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$int_3^(+oo)(3(x-3))/180e^(-x/180)dx$

pongo $u=x-3$ ottenendo

$int_0^(oo)(3u)/180e^(-(u+3)/180)du=3 e^(-1/60)int_0^(oo)u/180e^(-u/180)du=$

$=3 e^(-1/60)180Gamma(2)=3 e^(-1/60)180*1~~531.075$

Volendo risolverlo con il secondo metodo si può fare ma:

$mathbb{E}[Y_A]=200+3mathbb{E}[X]-9-int_0^(3)(3(x-3))/180e^(-x/180)dx=...~~731.075$

ma come vedi non è un metodo più snello....

Ne esistono altri di metodi per il calcolo di quelle medie....

[MrChopin]

Scusami se ricapitolo ma voglio capire se ho capito. Quindi se non erro con questo integrale:

$mathbb{E}[Y_A]=200+int_3^(+oo)(3(x-3))/180e^(-x/180)dx=...~~731.075$

Sapendo che:
$ Y_A= {( 200; 0<X<=3 ),( 200+3(X-3); X>3 ):} $

Allora definisci che fino a 3 è costante a 200 il suo integrale e poi c'è un integrale da 3 fino ad infinito.

Qui la cosa mi è meno chiara.

Sapendo che:
$ Y_A= {( 200; 0<X<=3 ),( 200+3(X-3); X>3 ):} $

$mathbb{E}[Y_A]=200+3mathbb{E}[X]-9-int_0^(3)(3(x-3))/180e^(-x/180)dx=...~~731.0746$

Questa parte qua hai sfruttato le proprietà:
$200+3mathbb{E}[X]-9$

Mi potresti spiegare perchè ci hai tolto questo?
$-int_0^(3)(3(x-3))/180e^(-x/180)dx $

[tommik]

Ho sottinteso "un passaggino o due"....

La media del primo metodo, considerata la funzione (deterministica) in oggetto è questa (utilizzando il teorema fondamentale che hai citato tu)

$mathbb{E}[Y_A]=int_0^3 200 1/180 e^(-x/180)dx+int_3^(oo)[200+3(x-3)]1/180e^(-x/180)dx=$

$=200underbrace(int_0^(oo)1/180e^(-x/180)dx)_(=1)+int_3^(oo)3(x-3)1/180e^(-x/180)dx$

Con un altro passaggio, scomponi il secondo integrale in modo opportuno arrivando alla formula che ho indicato (che comunque eviterei di usare perché meno comoda da risolvere; l'ho ricavata solo per spiegarti come il tuo calcolo fosse errato, anche se di poco)

EDIT: vorrei sapere se ti è chiaro come ho risolto gli integrali con l'utilizzo della Gamma di Eulero. E' un metodo che ti fa risparmiare un sacco di tempo e ti consente di risolvere integrali altrimenti difficilmente attaccabili con le tecniche standard

ad esempio $mathbb{E}[X^k]$ con k intero e X esponenziale negativa come nel tuo esercizio

[MrChopin]

Ho sottinteso "un passaggino o due"....

La media del primo metodo, considerata la funzione (deterministica) in oggetto è questa (utilizzando il teorema fondamentale che hai citato tu)

$mathbb{E}[Y_A]=int_0^3 200 1/180 e^(-x/180)dx+int_3^(oo)[200+3(x-3)]1/180e^(-x/180)dx=$

$=200underbrace(int_0^(oo)1/180e^(-x/180)dx)_(=1)+int_3^(oo)3(x-3)1/180e^(-x/180)dx$

No sul primo integrale ho capito i miei errori.

Con un altro passaggio, scomponi il secondo integrale in modo opportuno arrivando alla formula che ho indicato (che comunque eviterei di usare perché meno comoda da risolvere; l'ho ricavata solo per spiegarti come il tuo calcolo fosse errato, anche se di poco)

Si grazie che mi hai fatto vedere come si risolve anche con il secondo metodo.
Cerco sempre di provare tutti gli approcci possibili per segnarmeli e riguardarmeli, nel mio quaderno degli esercizi, così da avere un ventaglio più ampio di soluzioni per i vari esercizi che affronto.

potresti solo spiegarmi perchè ci hai tolto questo?
$-int_0^(3)(3(x-3))/180e^(-x/180)dx $
Così lo archivio nel mio "database"

Ho solo un dubbio/curiosità? hai detto:

E soprattutto a cos'altro potrebbe servire quell'informazione $ E[X]=180 $ ?

Serve per definire la densità di probabilità di $X$, cioè la durata della telefonata (che infatti hai sbagliato)

$f_X(x)=1/180 e^(-x/180)mathbb[1]_([0;oo))(x)$

Quindi in poche parole sapendo che:
$ f(x)=lambdae^(-lambdax)u(x) rArr E(X)=1/(lambda) $
Ricollegandomi a Teoria dei sistemi assomiglia molto alla costante di tempo del modo di evoluzione di un sistema cioè $ E(X)=1/(lambda)=- tau = -1/(lambda)$ cioè hanno un legame o non c'entrano niente? E tipo il tempo di accrescimento/decadimento della probabilità in un sistema probabilistico? E' questo la media? Oppure ho creato fantascienza? hahaha (cioè molto fanta e poco scienza)

[MrChopin]

EDIT: vorrei sapere se ti è chiaro come ho risolto gli integrali con l'utilizzo della Gamma di Eulero. E' un metodo che ti fa risparmiare un sacco di tempo e ti consente di risolvere integrali altrimenti difficilmente attaccabili con le tecniche standard

ad esempio $mathbb{E}[X^k]$ con k intero e X esponenziale negativa come nel tuo esercizio

In realtà non lo conosco me lo sono calcolato normalmente per parti come si usa?

[tommik]

potresti solo spiegarmi perchè ci hai tolto questo?
$-int_0^(3)(3(x-3))/180e^(-x/180)dx $

non ti ho messo tutti i passaggini ma mi sembrava piuttosto evidente....

$int_3^(oo)(3(x-3))/180e^(-x/180)dx=int_0^(oo)(3(x-3))/180e^(-x/180)dx-int_0^(3)(3(x-3))/180e^(-x/180)dx =$

$=3mathbb{E}[X]-9 underbrace(int_0^(oo) 1/180e^(-x/180)dx)_(=1)-int_0^(3)(3(x-3))/180e^(-x/180)dx $

[MrChopin]

Aaah ok! Forse ho capito ho frainteso la proprietà in questo caso!

$ E(aX+b)=aE(X)+b $

Allora usando le proprietà
$ E[Y]=E[200+3(X-3)]=200+3E(X)-9 $
pensavo che -3 dovevo considerarlo costante senza escludere l'insieme $ (0,3) $ dell'integrale che hai escluso! Ora è tutto chiaro grazie mille! (Sono ciuccio )

In realtà non lo conosco me lo sono calcolato normalmente per parti come si usa?

Quindi se dovessi calcolare $ mathbb{E}[X^100] $ lo faresti 100 volte per parti? E se invece avessi $ mathbb{E}[X^k] $ con $ k in NN $?

Se guardi le mie risposte ti ho messo tutti i passaggi necessari in spoiler. Magari non rientra nel programma ma di sicuro di fa risparmiare parecchio tempo...

Si ma te l'ho chiesto proprio perchè vorrei conoscerli hai qualche pdf/sito in italiano dove posso vedere qualche esempio per capirli o se non sono eccessivamente difficili aiutarmi tu? Sinceramente meno calcoli faccio e meglio è mi faresti un regalo! più che altro vorrei capire i valori di $ Gamma (x) $ tipo nel nostro caso $ Gamma (2) $ è sempre 1?

[tommik]

Si tratta solamente di conoscere la funzione gamma (che ti avevo già linkato prima), le sue proprietà e riuscire a ricondurci l'integrale tramite opportune manipolazioni algebriche

EDIT:
Esempio: $f(x)=theta e^(-theta x) u(x)$; $theta>0$

Calcolare la varianza di X. Per il calcolo della varianza serve il momento secondo

$mathbb{E}[X^2]=int_0^(oo) x^2 theta e^(-theta x)dx=1/theta^2int_0^(oo) (theta x)^2 e^(-theta x)d(theta x)=1/theta^2 int_0^(oo) u^2 e^(-u)du=1/theta^2 int_0^(oo) u^(3-1) e^(-u)du=(Gamma(3))/theta^2=(2 !)/(theta^2)=2/theta^2$


ecc ecc

[MrChopin]

Va bene cercherò di utilizzarlo questo sistema da qui in avanti perchè mi fa risparmiare mezz'ora di esame
grazie mille di tutto! Sei sempre molto disponibile e gentile scusa se faccio mille mila domande!

[EDIT]: Avevo visto la pagina Wikipedia ma volevo una pagina di esercizi per allenarmi e esempi già svolti li c'erano solo le formule