Esercizio teorema di Bayes

[4xy]

Buongiorno,
avrei un problema con questo esercizio sul teorema di Bayes. Il testo è il seguente:

"In una partita di campionato la squadra casalinga A affronta la squadra ospite B. La squadra A vanta il 71.4% di probabilità di segnare uno o più goal e il 63.3% di subire uno o più goal; la squadra B vanta il 55.6% di segnare uno o più goal e l'80% di subire uno o più goal. Considerando che i goal realizzati finora da una squadra sono influenzati da quelli subiti dall'avversario di turno e, viceversa, considerando che i goal subiti finora da una squadra sono influenzati da quelli realizzati dall'altra, calcola:
a) le probabilità che entrambe le squadre facciano almeno un goal ciascuna
b) le probabilità che una delle due squadre non faccia alcun goal."

Ora, credo che il mio problema sia interpretare una frase in italiano e tradurla nella corrispettiva formula matematica. Non so, ma il testo mi sembra un po' sibillino e, fra l'altro, se non fosse per il fatto che il testo richiede di risolvere il problema tramite il teorema di Bayes, io avrei semplicemente considerato il prodotto delle probabilità di due eventi indipendenti senza considerare condizionamenti.
Comunque ho approcciato il problema così e non so se stia bene:

Ho definito:
$A_f$ l'evento "la squadra $A$ fa (la $f$ al pedice) più di 1 goal"
$B_f$ l'evento "la squadra $B$ fa (la $f$ al pedice) più di 1 goal"
$A_s$ l'evento "la squadra $A$ subisce (la $s$ al pedice) più di 1 goal"
$B_s$ l'evento "la squadra $B$ subisce (la $s$ al pedice) più di 1 goal"

Credo di capire che le probabilità assegnate dal testo come dati siano le probabilità condizionate (però non capisco se il condizionamento si riferisca alle partite passate e se valga anche per la partita in esame). Quindi:
$P(A_f|B_s)=0.714$
$P(A_s|B_f)=0.633$
$P(B_f|A_s)=0.556$
$P(B_s|A_f)=0.8$

Se la definizione è giusta, credo a questo punto che gli eventi di cui mi interessa calcolare la probabilità siano le intersezioni della forma generale $P(E_1,E_2)$, e allora, visto che a me serve (punto a) la probabilità che entrambe le squadre segnino almeno un goal:
$P[(A_f,B_s)\cap(B_f,A_s)]=P(A_f,B_s)P(B_f,A_s)$


Determino i due elementi tramite il teorema di Bayes:
$P(A_f|B_s)=\frac{P(A_f,B_s)}{P(B_s)}=\frac{P(A_f,B_s)}{P(B_s|A_f)}$
cioè
$0.714=\frac{P(A_f, B_s)}{0.8}$ che implica $P(A_f, B_s) = 0.714*0.8=0.5712$ ossia il $57.12%$

Con lo stesso ragionamento, ma invertendo gli eventi, ottengo che:
$P(B_f, A_s)=P(B_f|A_s)*P(A_s|B_f)=0.556*0.633=0.3519$ ossia il $35.19%$.

Quindi a me serviva:
$P[(A_f,B_s)\cap(B_f,A_s)]=P(A_f,B_s)P(B_f,A_s)=0.5712*0.3519=0.201$ cioè il $20.1%$

Chiaramente per il punto b, posto che questi risultati siano corretti, si ragiona in termini di probabilità complementari, ossia:
$[1-P(A_f,B_s)][P(B_f,A_s)]+[P(A_f,B_s)][1-P(B_f,A_s)]=0.4288*0.3519+0.5712*0.6481=0.5211=52.11%$

In definitiva, se ho sbagliato qualcosa, dove ho sbagliato? E, soprattutto, perché? Non sono affatto sicuro dei miei ragionamenti.

Grazie!

[ghira]

La squadra A vanta il 71.4% di probabilità di segnare uno o più goal e il 63.3% di subire uno o più goal; la squadra B vanta il 55.6% di segnare uno o più goal e l'80% di subire uno o più goal.

Non capisco l'interazione fra il "segnare" di una squadra e il "subire" dell'altra. C'è una qualche spiegazione ufficiale nel libro / corso?

[4xy]

Mi dispiace ma no, ho solo il testo di quest'esercizio senza nemmeno sapere quale sia la soluzione. Come dicevo, appunto, è proprio il testo che per me non è chiarissimo, io onestamente avrei trattato il tutto come eventi indipendenti già dall'inizio, ma poi avrei avuto dati superflui. Quindi quello che ho proposto è stato l'unico modo che mi è venuto in mente per risolverlo, ma non so se abbia senso...

[axpgn]

@ghira
Penso che si intenda semplicemente la media delle due probabilità.
Voglio dire, se una squadra segna, l'altra subisce. Non avendo altra elementi per pesare le due probabilità, si fa la media

Cordialmente, Alex

[ghira]

@ghira
Penso che si intenda semplicemente la media delle due probabilità.
Voglio dire, se una squadra segna, l'altra subisce. Non avendo altra elementi per pesare le due probabilità, si fa la media

Non so. Se A ha 0% di segnare e B ha 100% di subire facciamo 50%? Mi sembra un po' strano. Se hai 0% di segnare dovrebbe voler dire che non segni e basta, direi. Ma magari hai ragione. O forse usiamo il prodotto? Chi ha 0% di segnare non segna mai così. La domanda non mi sembra affatto chiara.

[axpgn]

No, è semplice, dai, non estremizzare ...
È il modo di ragionare di qualsiasi tifoso: se la squadra che ha il miglior attacco incontra quella con la peggior difesa, le probabilità che la prima segni un gol sono alte e viceversa la squadra con il peggior attacco quando incontra quella con la miglior difesa difficilmente segnerà ... e quando si incontrano miglior attacco contro miglior difesa (diciamo $80%$ contro $20%$) fai la media, no?
Voglio dire semplicemente che è inutile star qui a pensare chissà che per questo esercizio, sbaglierò ma secondo me, quello che il testo vuol dire è solo questo.

Cordialmente, Alex

[ghira]

È il modo di ragionare di qualsiasi tifoso: se la squadra che ha il miglior attacco incontra quella con la peggior difesa, le probabilità che la prima segni un gol sono alte e viceversa la squadra con il peggior attacco quando incontra quella con la miglior difesa difficilmente segnerà ... e quando si incontrano miglior attacco contro miglior difesa (diciamo $80%$ contro $20%$) fai la media, no?

So che il calcio esiste. La mia conoscenza dell'argomento finisce più o meno lì. Se qualcuno dice "la squadra A segna almeno un gol il 100% delle volte" ma "la squadra B subisce almeno un gol il 0% delle volte" penso che le informazioni sono incoerenti. Ma se chi si intende di calcio capisce che in questa domanda bisogna fare la media, benone.

[axpgn]

So che il calcio esiste.

L'avevo capito

Ma se chi si intende di calcio capisce che in questa domanda bisogna fare la media, benone.

Diciamo che ci sono buone probabilità che sia così

Cordialmente, Alex

[4xy]

Ma, quindi, l'esercizio è corretto?

[ghira]

Diciamo che ci sono buone probabilità che sia così

Ma "il testo richiede di risolvere il problema tramite il teorema di Bayes". Forse abbiamo torto tutti e due?
Con la media o col prodotto.. non userei Bayes qui. O non mi pare. C'è qualcosa che non sto capendo.