Probabilità e statistica applicata al gioco.

[fabiusbac]

Salve a tutti. Avrei una domanda che riguarda, penso, più la statistica che la matematica.

Supponiamo che tizio ha 1400 euro e caio 600 euro. Devono giocare a testa o croce giocando ogni volta l'intero montepremi e il gioco finisce quando uno dei due rimane con zero (ovviamente se al primo giro vincesse caio vincerebbe solo 600 e tizio perderebbe solo 600 scendendo a 800)

Quale è la percentuale di vittoria dei due giocatori?

Io sono riuscito a calcolare solo, con una semplice proporzione che 1400 è il 70% di 2000 totali. Ma come calcolo la percentuale di vittoria considerato che ogni giro si ha un 50 per cento di vincita?


Oltre la domanda principale ne ho un altra, forse più complessa, alla quale non c'è nessuna formula ma penso correnti di pensiero. Ogni lancio alla roulette (immaginando che ci sia solo rosso e nero senza zero senza altri colori, o se volete, ogni lancio di moneta per testa o croce) ha il 50 per cento? nel senso....ammettiamo che esca 5 volte di fila rosso, per esempio, ma alla sesta c'è sempre il 50 e50 oppure dato che è uscito 5 volte rosso c'è molta più percentuale che esca il nero? e se si qual'è e come si calcola?

Grazie mille

[Zero87]

Salve a tutti. Avrei una domanda che riguarda, penso, più la statistica che la matematica.

... quindi sposto il problema nella sezione di statistica.
Occhio alla sezione e non ne faccio una questione di regolamento, quanto il fatto di avere risposte più specifiche della sezione. Oltre che ognuno di noi ha dei gusti e magari alcuni utenti passano in una sezione (es. statistica) ma non in un'altra (es. proprio questa delle presentazioni).

[ghira]

Supponiamo che tizio ha 1400 euro e caio 600 euro. Devono giocare a testa o croce giocando ogni volta l'intero montepremi e il gioco finisce quando uno dei due rimane con zero (ovviamente se al primo giro vincesse caio vincerebbe solo 600 e tizio perderebbe solo 600 scendendo a 800)

Quale è la percentuale di vittoria dei due giocatori?

Io sono riuscito a calcolare solo, con una semplice proporzione che 1400 è il 70% di 2000 totali. Ma come calcolo la percentuale di vittoria considerato che ogni giro si ha un 50 per cento di vincita?

Non giocano ogni vola l'intero montepremi, quindi. Giocano il minore dei due valori.

Dopo ogni mossa, il valore atteso del numero di euro del primo giocatore non cambia. Guadagna o perde la stessa somma con probabilità $\frac{1}{2}$. Il gioco finisce con probabilità 1. (Non sempre, ma quasi sempre.)
Quindi mediamente il primo giocatore avrà 1400 euro anche alla fine del gioco. Quindi la sua probabilità $p$ di vincere deve essere tale che $2000p=1400$. Cioè $p=\frac{1400}{2000}=\frac{7}{10}$.

Oltre la domanda principale ne ho un altra, forse più complessa, alla quale non c'è nessuna formula ma penso correnti di pensiero. Ogni lancio alla roulette (immaginando che ci sia solo rosso e nero senza zero senza altri colori, o se volete, ogni lancio di moneta per testa o croce) ha il 50 per cento?

Nella roulette $\frac{18}{37}$ a causa dello zero. Hai detto senza lo zero, lo so, ma non è difficile rispondere per il caso con lo zero.

nel senso....ammettiamo che esca 5 volte di fila rosso, per esempio, ma alla sesta c'è sempre il 50 e50 oppure dato che è uscito 5 volte rosso c'è molta più percentuale che esca il nero? e se si qual'è e come si calcola?

Non è in realtà una domanda di matematica ma di fisica o ingegneria o qualcosa del genere. I lanci della roulette, le monete ecc. sono indipendenti? Francamente se non lo fossero mi sembrerebbe molto molto strano.
In particolare, mi sembra difficile che si siano sensori, memoria e motori dentro le monete in grado di registrare i risultati dei lanci precedenti e modificare il comportamento delle monete nei lanci futuri. Lanciando la stessa moneta miliardi di volte magari cambia forma un po' alla volta e quindi le probabilità variano ma dopo un numero piccolo di lanci l'effetto di questi cambiamenti sarebbe microscopico, non credi?

[Bokonon]

@ghira
Il gioco finisce sempre con uno dei due giocatori che vince l'intera somma 2000. Il valore atteso di euro non ha alcuna valenza per calcolare la probabilità di vittoria di Tizio.
Il montepremi ci dice solo come si evolverà il gioco. Da esso si deduce che Tizio può vincere solo se arriva a tirare un numero dispari di volte.

Io ho ragionato così. Qual è il numero di vittorie necessarie a Tizio per arrestare e quindi vincere i 2000 euro dopo n lanci? Tizio deve vincere tutti i lanci pari (per sopravvivere) + il lancio ennesimo per arrestare il gioco: ergo n è dispari e le vittorie sono $V=(n-1)/2+1=(n+1)/2$
Quindi per n=1 Tizio deve vincere quel lancio.
Per n=7 il gioco si arresta se Tizio ha vinto 4 volte su 7 lanci ecc. ecc.
Ponderando V abbiamo $V*1/2^n$ ovvero la probabilità che il gioco si arresti dopo esattamente n lanci con Tizio vincente.
Quindi sommandole tutte abbiamo la probabilità cercata.
Dato che n è dispari lo sostituisco con $2k+1$ con k naturale e scrivo la serie convergente:
$sum_(k=0)^(oo) (k+1)/(2^(2k+1)(2k+1))=1/3+1/4ln(3)$
Per cui la probabilità che vinca Tizio è circa il $60,8%$

[ghira]

@ghira
Il gioco finisce sempre con uno dei due giocatori che vince l'intera somma 2000.

Lo so.

Il valore atteso di euro non ha alcuna valenza per calcolare la probabilità di vittoria di Tizio.

Mi sembra il modo più veloce per arrivare alla risposta. Se preferisci un metodo più lungo:

Chiamiamo $p(x)$ la probabilità di vincere cominciando con $x$ euro. Ovviamente $p(0)=0$ e $p(2000)=1$.

Vogliamo calcolare $p(1400)$. È uguale a $\frac{1}{2}p(800)+\frac{1}{2}p(2000)=\frac{1}{2}p(800)+\frac{1}{2}$

$p(800)=\frac{1}{2}p(1600)$
$p(1600)=\frac{1}{2}p(1200)+\frac{1}{2}$
$p(1200)=\frac(1}{2}p(400)+\frac{1}{2}$
$p(400)=\frac{1}{2}p(800)$

E non vediamo valori nuovi.

Chiamiamo $p(400)$ semplicemente $p$ e vediamo $p(800)=2p$, $p(1200)=\frac{p}{2}+\frac{1}{2}$, $p(1600)=\frac{p}{4}+\frac{3}{4}$, $p(800)=\frac{p}{8}+\frac{3}{8}$. Adesso $2p=\frac{p}{8}+\frac{3}{8}$, $p=\frac{3}{8}\times\frac{8}{15}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$, e finalmente $p(1400)=\frac{1}{5}+\frac{1}{2}=\frac{7}{10}$.

Quindi $p(1400)=\frac{7}{10}$.

[ghira]

@ghira
Il gioco finisce sempre con uno dei due giocatori che vince l'intera somma 2000. Il valore atteso di euro non ha alcuna valenza per calcolare la probabilità di vittoria di Tizio.

Perché dici così?

Tizio inizialmente ha 1400 euro. Sicuramente. La media di questa distribuzione abbastanza banale è 1400.

Dopo una "mossa", ha 800 con probabilità $\frac{1}{2}$ e 2000 euro con probabilità $\frac{1}{2}$. La media di questa distribuzione è 1400. Possiamo andare avanti così. La media è sempre 1400. Nel lungo termine Tizio avrà quasi sicuramente o 0 o 2000 euro. La media sarà sempre 1400. Possiamo dedurre che la probabilità che abbia 2000 euro è, quindi, $\frac{7}{10}$.

Cosa non va con questo metodo?

[ghira]

O facciamo una simulazione.

Codice:

#/usr/bin/perl

$s=0;
$t=0;

while (1) {
   $t++;
   $x=1400;
   while (($x!=0)&&($x!=2000)) {
      if (rand()<0.5) {
         if ($x<1000) {
         $x=0;
         } else {
         $x=2000-2*(2000-$x);
         }
      } else {
         if ($x<1000) {
         $x*=2;
         } else {
         $x=2000;
         $s++;
         }
      
      }
      
   }
$p=$s/$t;
print "$p\n";   

   }


Dopo non so quante iterazioni:

0.700781144579216

e dopo un altro po'

0.699810670420894

Compatibile con una risposta di $0,7$.

[ghira]

Il montepremi ci dice solo come si evolverà il gioco. Da esso si deduce che Tizio può vincere solo se arriva a tirare un numero dispari di volte.

Ma Tizio partendo da 1400 potrebbe fare:
800, 1600, 1200, 2000 e vincere dopo un numero pari di giri.

o

800, 1600, 1200, 400, 0 e perdere dopo un numero dispari di giri.

[Bokonon]

Tizio inizialmente ha 1400 euro. Sicuramente. La media di questa distribuzione abbastanza banale è 1400.

Dopo una "mossa", ha 800 con probabilità $\frac{1}{2}$ e 2000 euro con probabilità $\frac{1}{2}$. La media di questa distribuzione è 1400. Possiamo andare avanti così. La media è sempre 1400. Nel lungo termine Tizio avrà quasi sicuramente o 0 o 2000 euro. La media sarà sempre 1400. Possiamo dedurre che la probabilità che abbia 2000 euro è, quindi, $\frac{7}{10}$.

Ora ho capito l'idea che sta dietro al metodo che hai utilizzato
Il vero problema era dalla mia parte: come hai osservato mi ero assurdamente persuaso di una sequenza errata.
Tizio invece può vincere al primo, terzo, quarto, settimo, ottavo, ecc. lancio!

Rimedio alla mia allucinazione.
Sommando direttamente le probabilità di vittoria di Tizio ottengo: $1/2+sum_(k=0)^(oo) 1/(2^(3+4k)) + sum_(k=0)^(oo) 1/(2^(4+4k))=1/2+3/16sum_(k=0)^(oo) 1/(2^(4k))=1/2+3/16(16/15)=7/10$

[ghira]

Ora ho capito l'idea che sta dietro al metodo che hai utilizzato

Il vantaggio del "mio" metodo è che funziona per qualsiasi valori e non è necessario risolvere equazioni simultanee o sommare le serie. (Chiaramente non ho inventato io il metodo).

Se avessimo valori iniziali di 17.234.115 euro contro 23 milioni di euro...