da 3m0o » 03/10/2022, 01:10
Mmh non sono convinto dalla tua argomentazione, in realtà mi sto confondendo anche sulla possibilità di aver capito male la domanda.
Nel senso prendiamo \(G=\mathbb{Z}\), sia \((S_n)_{n \geq 0} \) una passeggiata aleatoria semplice, questo vuol dire che per ogni \(n \geq 1 \) abbiamo che \(S_n \) è una variabile aleatoria che assume valori in \(\{S_{n-1}-1,S_{n-1}+1\}\) con probabilità \(1/2)\). Supponiamo che \(S_0=v \), \( \tilde{S}_0=w \) siano due interi, io interpreto la domanda nel seguente modo
\[ \sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{P}_v(S_n=v) = \infty \]
se e solo se
\[ \sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{P}_w(\tilde{S}_n=w) = \infty \]
con \(G=\mathbb{Z}\) in un certo senso mi sembra evidente perché stiamo semplicemente traslando la passeggiata aleatoria, quindi se \((S_n)_{n \geq 0} \) parte da \(v \) e ritorna con probabilità \(1\) a \(v\) se la trasliamo ottenendo \( (\tilde{S}_n)_{n \geq 0} \) che parte da \(w\) allora la "stessa" passeggiata aleatoria tornerà con probabilità \(1\) a \(w\).
Il problema è che questa intuizione non è troppo adatta a parer mio, perché passando ad un grafo generico localmente finito, abbiamo che già il grado \(v \) potrebbe essere differente dal grado di \(w\).
Quindi interpreto la domanda come dati \(v,w \in G \) e due passeggiate aleatorie semplici \((S_n)_n \) che parte da \(v\) e \( (\tilde{S}_n)_n\) che parte da \(w\) abbiamo che \((S_n)_{n \geq 0} \) è ricorrente se e solo se \( (\tilde{S}_n)_{n \geq 0}\). Quindi con la tua argomentazione se arrivo a \(w\) con probabilità positiva allora il futuro è una passeggiata aleatoria semplice che ritorna a \(v\) con probabilità \(1\) per quello che dici te (o quasi per definizione) ma nulla mi garantisce che ritornerà ancora \(w\) per dire che ritornerà a \(w\) dovrei dimostrare che la probabilità di arrivare a \(w\) partendo da \(v\) non solo sia positiva ma che sia pure \(1\). Il punto è che non è nemmeno chiaro che la probabilità di arrivare a \(w\) sia positiva. Sostanzialmente per dimostrare il claim a) dovrei dimostrare che dato un vertice \(v\) arbitrario di partenza di una passeggiata aleatoria semplice ricorrente allora ogni vertice è raggiunto con probabilità \(1\).