(a) Si definisce le principali proprietà dei sistemi (ad esempio: linearità, invarianza temporale, casualità, stabilità, ecc).
(b) In relazione ad un sistema lineare e temporale invariante (LTI):
(c) Si espliciti l’espressione analitica che lega ingresso ed uscita del sistema e si proponga un esempio grafico di calcolo dell’uscita del sistema;
(d) Si indichi quali caratteristiche deve avere la risposta impulsiva del sistema per verificare ciascuna delle proprietà definite al punto (a)
Ho risposto in questa maniera:
Quesito a
Le principali proprietà dei sistemi sono le seguenti:
Dispersività: Un sistema si dice non dispersivo (o senza memoria) se l’uscita all’istante t [risp., per sistemi discreti, n] dipende solo dal valore del segnale di ingresso nell’istante t [risp. n].
Causalità: Un sistema è causale se l’uscita all’istante t [risp., per segnali discreti, n] dipende solo dai valori del segnale di ingresso negli istanti che precedono t [risp. n].
Invertibilità: Un sistema si dice invertibile se esiste un sistema inverso, cioè tale che la cascata dei due sistemi forniscano il sistema identico. Equivalentemente un sistema è invertibile se e solo se ad ingressi differenti corrispondono uscite differenti; infatti solo in tal caso è possibile definire un sistema inverso.
Stabilità: Un sistema si dice stabile BIBO (Bounded Input, Bounded Output) se la risposta a qualunque ingresso limitato è anch’essa limitata
Invarianza temporale: Un sistema è detto temporalmente invariante se ad una traslazione dell’ingresso corrisponde la stessa traslazione dell’uscita $y (t) = T [x(t)] ⇒ y(t − T) = T [x(t − T)] , y (n) = T [x(n)] ⇒ y(n − N) = T [x(n − N)]$
Linearità: Un sistema si dice lineare se è omogeneo ed additivo. Un sistema è omogeneo se ad un cambiamento di scala delle ampiezze dell’ingresso corrisponde lo stesso cambiamento di scala delle uscite $y(·) = T [x(·)] ⇒ T [ax(·)] = ay(·), ∀a ∈ C, ∀x(·).$ Un sistema si dice additivo se la risposta alla somma degli ingressi `e la somma delle risposte ai singoli ingressi ${y1(·) = T [x1(·)], y2(·) = T [x2(·)] } ⇒ T [x1(·) + x2(·)] = T [x1(·)] +T [x2(·)] = y1(·) +y2(·)$
Quesito b/c
Nel caso di sistemi Lineari Tempo Invarianti (LTI) ad una traslazione dell’ingresso deve corrispondere la stessa traslazione dell’uscita e quindi $δ(n) → w (n, 0) ⇒ δ(n − k) → w (n − k, 0)$
Quesito d
La risposta impulsiva è anche detta risposta canonica perchè caratterizza completamente il sistema lineare. Pertanto, anche conoscendo la sola forma della risposta impulsiva è possibile classificare i sistemi Lineari Tempo Invarianti (LTI) in base alle proprietà definite in precedenza.
Dispersività: La risposta impulsiva di un sistema senza memoria si scrive come $h(n) = aδ(n)$ per i sistemi discreti; $h(t) = aδ(t)$ per i sistemi continui.
Causalità: Un sistema è causale se $h(n) = 0, ∀n < 0$ per i sistemi discreti; $h(t) = 0, ∀t < 0$ per i sistemi continui.
Invertibilità: Il sistema inverso è quel sistema con risposta impulsiva $hi(·)$ che, connesso in serie, restituisce il segnale unitario, ovvero la cascata di un sistema e del suo inverso danno il sistema identico. Pertanto esso deve verificare la relazione $h(·) ∗ hi(·) = δ(·)$.
Stabilità BIBO: Ad esempio nel caso discreto, dato $|x(n)| ≤ B$ si deve avere $|y(n)| < C$ e quindi $|y(n)| = $ $ sum_(m = -oo) ^ oo $ $ x(n − m)h(m) ≤ $ $ sum_(m = -oo) ^ oo $ $|x(n − m)| |h(m)| ≤ B $ $sum_(m = -oo) ^ oo$ $|h(m)| < C$. Quindi un sistema è stabile se h(m) è assolutamente sommabile $ sum_(m = -oo) ^ oo $ $|h(m)| < D = C/B$ . Analogamente per i sistemi continui, la condizione di stabilità è $int_(r)^()$ $ |h(τ )| dτ < D$.
