[fondamenti di segnali e trasmissione] segnali

[tommasovitolo]

Salve a tutti. Sto riscontrando tanta difficoltà con questo esercizio, non so come muovermi. Mi risulta molto difficile. grazie mille a chi mi aiuterà.

Si consideri il segnale $ x(t) = (1/T_o)*sinc(t/T_o) $ con $T_0 = 0.05 s$
a. Si determini e si rappresenti graficamente lo spettro del segnale x(t).
b. Si determini se il segnale x(t) è un segnale di energia o di potenza e se ne calcoli nel primo caso l'energia e nel secondo la potenza.
c. Sia $ x_(delta)(t) $ la versione campionata (idealmente) del segnale x(t), con frequenza di campionamento $f_c = 15 Hz$. Si rappresenti graficamente lo spettro di $ x_(delta)(t) $ nell'intervallo $[-f_c,f_c]$.
d. Sia ora $ hat(x)(t) $ il segnale ricostruito utilizzando un filtro di ricostruzione ideale con band monolaterale $f_c/2$. Si rappresenti lo spettro dell'errore di ricostruzione $e(t) = x(t) - hat(x)(t)$. Si determini se il segnale e(t) è un segnale di energia o di potenza e se ne calcoli nel primo caso l'energia e nel secondo la potenza.
e. Nel caso in cui a monte dell'operazione di campionamento si utilizzi un filtro anti-aliasing ideale (con banda monolatera $f_c/2$), si determini il nuovo segnale errore di ricostruzione e'(t).

Il mio ragionamento
Quesito a
è immediato notare che il segnale assegnato nel dominio del tempo ha una nota rappresentazione nel dominio della frequenza, per la relazione di trasformazione che lega la finestra rettangolare alla funzione $sinc(t)$
$ x(t) = (1/T_o)*sinc(t/T_o) <=> X(f) = To*prod_( )^() ((T_o)/f) $


Quesito b
Si può calcolare l'energia nel dominio della frequenza (uguaglianza di Parseval) integrando la ESD (Densità spettrale di energia) la quantità $ S_x(f)=|X(f)|^2 = $
E non so come procedere per calcolarlo.

Quesito c
La rappresentazione grafica dovrebbe essere identica soltanto che inserisco i valori di $f_c$ in quel determinato range.

Quesito d
hat(X(f)) = To*prod_( )^() ((2*T_o)/f_c) $
L'errore di ricostruzione in frequenza vale
$ E(f) = X(f)-hat(X)(f) = To*prod_( )^() ((T_o)/f) - To*prod_( )^() ((2*T_o)/f_c)$
Si può calcolare l'energia nel dominio della frequenza (uguaglianza di Parseval) integrando la ESD (Densità spettrale di energia) la quantità $ S_x(f)=|E(f)|^2 = $
E non so come procedere per calcolarlo.

Quesito e

[Quinzio]

Il mio ragionamento
Quesito a
è immediato notare che il segnale assegnato nel dominio del tempo ha una nota rappresentazione nel dominio della frequenza, per la relazione di trasformazione che lega la finestra rettangolare alla funzione $sinc(t)$
$ x(t) = (1/T_o)*sinc(t/T_o) <=> X(f) = To*prod_( )^() ((T_o)/f) $

No non va bene. Devi semplicemente andare a prendere la formula "preconfezionata" e applicarla facendo attenzione ai coefficienti. Perche' hai messo la frequenza al denominatore ?
https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_t ... imensional

Quesito b
Si può calcolare l'energia nel dominio della frequenza (uguaglianza di Parseval) integrando la ESD (Densità spettrale di energia) la quantità $ S_x(f)=|X(f)|^2 = $
E non so come procedere per calcolarlo.

Dovresti fare l'integrale dello spettro (al quadrato).
E' un rettangolo, non la vedo cosi' difficile a fare l'integrale, no ?

Quesito c
La rappresentazione grafica dovrebbe essere identica soltanto che inserisco i valori di $f_c$ in quel determinato range.

Che vuol dire ? Non si capisce cosa vuoi dire.
Comunque, no, non e' identica.

Quesito d
$hat(X(f)) = To*prod_( )^() ((2*T_o)/f_c) $
L'errore di ricostruzione in frequenza vale
$ E(f) = X(f)-hat(X)(f) = To*prod_( )^() ((T_o)/f) - To*prod_( )^() ((2*T_o)/f_c)$
Si può calcolare l'energia nel dominio della frequenza (uguaglianza di Parseval) integrando la ESD (Densità spettrale di energia) la quantità $ S_x(f)=|E(f)|^2 = $
E non so come procedere per calcolarlo.

Quesito e

Prima risolvi bene i punti precedenti.

[tommasovitolo]

Quesito a
La trasformata di un impulso rettangolare è $ Aprod(t/T) <=> ATsinc(fT) $
$ x(t) = (1/T_0)*sinc(t/T_0) <=> X(f) = (1/T_0)*T_0prod(fT_0) = prodf*T_0 $$ x(t) = (1/T_0)*sinc(t/T_0) <=> X(f) = (1/T_0)*T_0prod(fT_0) = prodf*T_0 $
E' immediato notare che il segnale assegnato nel dominio del tempo ha una nota rappresentazione nel dominio della frequenza, per la relazione di trasformazione che lega la finestra rettangolare alla funzione $sinc(t)$
$ x(t) = (1/T_0)*sinc(t/T_0) <=> X(f) = (1/T_0)*T_0prod(fT_0) = prodf*T_0 $


Quesito b
Si può calcolare l'energia nel dominio della frequenza (uguaglianza di Parseval) integrando la ESD (Densità spettrale di energia) la quantità: $ S_x(f) = (|X(f)|^2 ) = int_R(prod(fT_o))^2 df = 1 < 00 $

oppure
Si può ricavare che $ S_x(f) = A^2*T^2*sinc^2(fT) = E_xTsinc^2(fT) $
in cui $E_x = A^2*T = (1)^2*1 = 1 < 00$
Conseguentemente la potenza è nulla $P_x = 0$

Quesito c
Considerando la versione campionata idealmente di x(t) , indicata con $x_c(t)$, nel dominio della frequenza e data da
$ x_c(t)=x(t)*delta_(1/f_0)(t) <=> X_c(f)=f_0sum_(k = -oo)^(oo)*X(f-k*f_0) $
$ X_c(f) = prod_( )^() (fTo-k*fc) $
il range d'azione [-fc,fc]

Allora il grafico della trasformata di x(t) si ottiene considerando semplicemente queste sovrapposizioni tra finestre rettangolari.