[fondamenti di segnale e trasmissione] variabile aleatoria

[ghira]

$ E[Z] = E[X-3Y]=E[X] - 3E[Y]= 1-3*2 = -6 $

Cioè -5?

[tommasovitolo]

Quesito a
La probabilità $P(-1<X<=2)$ si calcola mediante la proprietà della PDF:
$ P(-1<X<=2)= ({-1/sqrt2<(X-2)/sqrt2<(2-2)/sqrt2})=F_x(-sqrt(2)/2)-F_x(0)=1-Q(-sqrt(2)/2)-(1-(Q(0)))=Q(0)-Q(-sqrt(2)/2) $

Quesito b e c
Per calcolare il valore atteso e la varianza basta utilizzare le proprietà
$ E[Z] = E[X-3Y]=E[X] - 3E[Y]= 1-3*2 = -5 $
$ VAR[Z] = VAR[X-3Y]= a^2*VAR[X]+b^2*VAR[Y] = 1^2*VAR[X]+9*VAR[Y] = 1*4+9*1 = 13$

Quesito d
la CDF di Z vale
$ F_Z(Z) = P({Z<=z)=P({Z/(2sqrt2)<=z/(2sqrt2)})= P({x<=Z/(2sqrt2)})=1-Q(Z/(2sqrt2)=Q(-Z/(2sqrt2)) $

[ghira]

Mi sembra tutto sbagliato. $X$ e $Y$ non sono indipendenti quindi b è sbagliato.

E non vedo dove trovi i valori che usi in a.

[tommasovitolo]

$ VAR[Z] = VAR[X-3Y]= VAR[X/(sigma_X)+3Y/(sigma_Y)]= VAR[X]/(sigma_X^2)+3VAR[Y]/(sigma_Y^2)-2*3COV[X,Y]/(sigma_X*sigma_Y) = 1/4+3*2-2*3*r(X,Y) $
$ r[X,Y] = (COV[X,Y])/(sqrt(VAR[X])*sqrt(VAR[Y])) = (1/2)/2 = 1/4 $
$ VAR[Z] = 1/4+3*2-2*3*1/4 = 19/4 $

Quindi questo va bene

[ghira]

Quindi questo va bene

No, anche questo sembra totalmente sbagliato.

[tommasovitolo]

$Var(ax−by)=a2var(x)+b2var(y)−2abcov(x,y)$
$ VAR[Z] = VAR[X-3Y]= a^2*VAR[X]+b^2*VAR[Y]-2*a*b*COV(X,Y)= 1*4+3*1-2*1*3*1/2= 4+3-3 = 4 $

[ghira]

$Var(ax−by)=a2var(x)+b2var(y)−2abcov(x,y)$
$ VAR[Z] = VAR[X-3Y]= a^2*VAR[X]+b^2*VAR[Y]-2*a*b*COV(X,Y)= 1*4+3*1-2*1*3*1/2= 4+3-3 = 4 $

Dici una cosa poi calcoli una cosa diversa.

[tommasovitolo]

$ VAR[Z] = VAR[X-3Y]= a^2*VAR[X]+b^2*VAR[Y]-2*a*b*COV(X,Y)= 1^2*4+3^2*1-2*1*3*1/2= 4+9-3 = 10 $

[ghira]

$ VAR[Z] = VAR[X-3Y]= a^2*VAR[X]+b^2*VAR[Y]-2*a*b*COV(X,Y)= 1^2*4+3^2*1-2*1*3*1/2= 4+9-3 = 10 $

Mi sembra giusto.

[tommasovitolo]

Grazie mille per avermi aiutato