"Sia $mu$ una misura di Borel, sia $X$ un moto browniano e sia $ Y_t=int_(0)^(t)X_smuds $.
Dimostrare che, usando la relazione
$ mu (]s,t])^2=2int_(0)^(t) mu(]r,u]) dmu(u) ds $",
la variabile $Y_t$ ha varianza pari a $ sigma_t^2=int_(0)^(t) mu (]s,t])^2ds$.
Applicando il Teorema di Fubini varie volte, sfruttando le proprietà dei moti browniani ed utilizzando la relazione che mi è stata fornita dall'esercizio, sono riuscita ad effettuare il calcolo della varianza che risulta essere proprio quella richiesta e mostrando il procedimento alla prof, ho ricevuto il suo ok.
Il mio dubbio sorge nel momento in cui però il prof. mi ha chiesto:" a quanto sarebbe uguale $ sigma_t^2$ se $mu$ fosse una misura di Lebesgue?"
Il fatto è che a lezione non abbiamo trattato questo tipo di misura e quindi non saprei proprio come muovermi.. mi ha detto che si tratta sostanzialmente di un calcolo ma non so come fare.
Qualcuno potrebbe aiutarmi a rispondere a questo quesito?
