Si consideri una trasmissione digitale con $M=4$ segnali trasmessi in modo equiprobabile su un canale AWGN con densità spettrale di potenza $(N_0)/2$ (ovvero la varianza della componente di rumore a valle del demodulatore è $(N_0)/2$). I segnali utilizzati nell'intervallo di simbolo (0,T) sono
$ s_1(t)=Aprod((t-T/4))/(T/2) $
$ s_2(t)=Aprod((t-(3T)/4))/(T/2) $
$ s_3(t) = 0 $
$ s_4(t) = s_1(t)+s_2(t) $
con $A > 0$
a. Determinare una base di rappresentazione per lo spazio generato dai quattro segnali
b. Rappresentare graficamente la costellazione dei segnali e le regioni di decisione ottime
c. Calcolare l'energia massima $epsilon_(max)$ (anche detta energia di picco), l'energia media $epsilon_(av)$, e l'energia media per bit $epsilon_(bav)$ spese per la trasmissione
d. Usando la tecnica dell'union bound, determinare un limite superiore $P_M$ per probabilità di errore di simbolo, esprimendo il risultato in funzione del rapporto segnale rumore medio per bit $gamma = (epsilon_(bav)/(N_0))$
e. A partire dalla costellazione dei quattro segnali, proporre una nuova costellazione che lasci inalterate le distanze e gli angoli tra i quattro segnali ma riduca l'energia media spesa per la trasmissione. Quanto vale la probabilità $P_M$ per la nuova costellazione?
Quesito a
L'energia dei segnali $s_1(t)$ e $s_2(t)$ è $epsilon_1 = epsilon_2 = A^2*T$
L'energia del segnale $s_3(t)$ è $epsilon_3 = 0$
L'energia del segnale $s_4(t)$ è $epsilon_4 = 9/4A^2*T$
Utilizzando la procedura di Gram-Schmidt, considerando nell’ordine prima il segnale s1(t) e poi il segnale s2(t), si ricavi una base ortonormale di rappresentazione per lo spazio generato dai due segnali, sia essa {ψ1(t), ψ2(t)}, e si rappresenti graficamente la corrispondente costellazione.
$ psi_1(t) = (s_1(t))/(sqrtepsilon)= 1/sqrtT*((t-T/4))/(T/2) $
$ psi'_2(t) = s_2(t) - <s_2(t),psi_1(t)>*psi_1(t) = s_2(t) - <s_2(t), (s_1(t))/(sqrtepsilon)*(s_1(t)/sqrt(epsilon))>(s_1(t)/sqrt(epsilon)) = s_2(t)-(s_1(t))/(sqrt2) = A/(sqrt2)prod((t-T/4))/(T/2)) - A/(sqrt2)prod((t-3T/4))/(T/2)) $
$ psi_2(t) = 1/(sqrtT)*prod(((t-T/4))/(T/2)) - 1/(sqrtT)prod(((t-3T/4))/(T/2)) $
Per la costellazione, calcolo le coordinate dei due vettori-segnale:
$ <s_1(t),psi_1(t)> = sqrtepsilon $
$ <s_1(t),psi_2(t)> = 0 $
$ <s_2(t),psi_1(t)> =sqrt(epsilon/2) $
$ <s_2(t),psi_2(t)> = sqrt(epsilon/2) $
Il segnale $s_3(t)$ non è stato considerato poichè è nullo per ogni possibile scelta dei versori della base $psi(t)$ .
Invece per il quarto segnale
$ s_4 (t)= s_1(t)+s_2(t)= (sqrtepsilon,0)+(sqrt(epsilon/2), sqrt(epsilon/2) ) = ((3/2sqrt(epsilon), sqrt(epsilon/2) ) $
Quesito b
La rappresentazione gra fica delle regioni di decisione è
Quesito c
$ E_(s1) = int|s_1(t)|^2dt = ints_1(t)*s_1(t)dt = <s1(alpha),s1(alpha)> = s1*s1 = ||s_1||^2 $
$ E_(s1) = epsilon $ <- Energia massima associata al segnale più distante
$ E_(s2) = (sqrt(epsilon/2))^2+ (sqrt(epsilon/2))^2 = (epsilon/2) + (epsilon/2) = epsilon $
$ E_(s3) = 0$
$ E_(s4) = (3/2sqrt(epsilon))^2 +(sqrt(epsilon/2))^2 = 9/4epsilon + (epsilon/2) = 11/4*epsilon $
L'energia media vale
$ epsilon_(av) = 1/M*sum_(i=1)^M(epsilon_i) = 1/4*(\epsilon+ epsilon+0+11/4*epsilon) = 19/4*epsilon $
Poichè ad ogni simbolo sono associati $ k = log_(2)4 = 2 bit $ l'energia media per bit è
$ epsilon_(bav) = (epsilon_(av))/k = 19/8*epsilon $
Quesito d
Per calcolare la probabilità di errore relativo al simbolo s_1 con la tecnica dell'union bound la regione complementare a R1 si può scrivere come l'unione della regione di decisione relativa ai segnali s2, s3 e s4
$ R_1^c = R_(1,2)^c U R_(1,3)^c U R_(1,4)^c $
$ P(e|s1) <= Q(sqrt(d_(12)^2/2N_0))+Q(sqrt(d_(13)^2/2N_0))+Q(sqrt(d_(14)^2/2N_0)) = 2Q(sqrt(sqrt(epsilon)/2N_0))+Q(sqrt(2\epsilon)/2N_0)) $
$ P(e|s2) <= Q(sqrt(d_(21)^2/2N_0))+Q(sqrt(d_(23)^2/2N_0))+Q(sqrt(d_(24)^2/2N_0)) = 2Q(sqrt(sqrt(epsilon)/2N_0))+Q(sqrt(2 \epsilon)/2N_0) $
$ P(e|s3) <= Q(sqrt(d_(31)^2/2N_0))+Q(sqrt(d_(32)^2/2N_0))+Q(sqrt(d_(34)^2/2N_0)) = $
$ P(e|s4) <= Q(sqrt(d_(41)^2/2N_0))+Q(sqrt(d_(42)^2/2N_0))+Q(sqrt(d_(43)^2/2N_0)) = $
Unendo i risultati
$ P(e) = 1/4*[P(e|s1)+P(e|s2)+P(e|s3)+P(e|s4)] <= $
$ gamma = E_(bav)/N_0 = (19/8*epsilon)/(N_0/2) = (19/4*epsilon)/N_0 $
