Formulazione di Carleson della formula di Cardy

[3m0o]

C'è una parte della dimostrazione del seguente teorema che non capisco molto bene. In grassetto metterò le cose che non capisco.

Teorema
Sia \( (\Omega, a_1,a_2,a_3,a_4) \) un dominio di Jordan con \(a_1,a_2,a_3,a_4 \in \partial \Omega \) e consideriamo \( \Omega_{\delta} \) una discretizzazione a fave di \( \Omega \), i.e. un reticolo in \( \delta \mathbb{Z}^2\) a esagoni i cui lati sono paralleli a \( 1, e^{2\pi i/3} , e^{-2\pi i/3} \) con misura mesh \( \delta > 0 \). Identifichiamo \(a_1,a_2,a_3,a_4\) ai vertici in \( \Omega_{\delta} \) più vicini. Coloriamo gli esagoni di bianco con probabilità \(1/2\) e di nero con probabilità \( 1/2\). Sia \( \varphi : \Omega \to \Delta \) l'unica mappa conforme tra \( \Omega \) e il triangolo equilatero di vertici \(1, \pm \frac{\sqrt{3}}{3}i \) tale che \( a_1,a_2,a_3 \mapsto a=1, b= \frac{\sqrt{3}}{3}i , c=-\frac{\sqrt{3}}{3}i \). Allora abbiamo che
\[ \lim_{\delta \to 0} \mathbb{P}_{\Omega_{\delta}}\{ [a_1a_2 ] \leftrightsquigarrow_w [a_3a_4] \} = \Re ( \varphi(a_4) ) \]
dove \( \leftrightsquigarrow_w \) significa che c'è un cammino che connette \( [a_1a_2] \) a \( [a_3a_4] \) fatto di soli esagoni bianchi.


Parte della dimostrazione che non capisco
Estendiamo \( \mathbb{P}_{\Omega_{\delta}}\{ [a_1a_2]\leftrightsquigarrow_w [a_3a_4] \} \) dal bordo \( z \in [a_3,a_1] \) a \(z \in \overline{\Omega} \). E consideriamo \(A_1=[a_2a_3] \), \(A_2=[a_3a_1] \) e \(A_3=[a_1a_2] \).

Secondo me è un typo dovrebbe essere dal bordo \( z \in [a_3,a_4] \)

Poniamo
\[ H_{\delta}^1(z) = \mathbb{P}_{\Omega_{\delta}}\{ \{a_1,z\} \parallel_w A_1 \} \]
dove \( \{a_1,z\} \parallel_w A_1 \) indica l'evento che \(a_1\) e \(z\) sono separati da \(A_1\) tramite un cammino bianco.

Notiamo che quando \( z \in [a_3,a_1] \) abbiamo \( H_{\delta}^1 (z) = \mathbb{P}_{\Omega_{\delta}}\{[a_1a_2] \leftrightsquigarrow_w [a_3z] \} \).

Questa formulazione equivalente quando \(z \in [a_3,a_1] \) della probabilità non la capisco

Inoltre poniamo
\[ H_{\delta}^{k}(z) = \mathbb{P}_{\Omega_{\delta}}\{ E^k(z) \} \]
dove \(E^k(z) \) è l'evento \( \{ \{ a_k, z\} \parallel_w A_k \} \) e poniamo
\[ \varphi_{\delta} = H_{\delta}^1 + \frac{\sqrt{3}}{3} i H_{\delta}^{2} - \frac{\sqrt{3}}{3}i H_{\delta}^3 \]

Dimostriamo \( \varphi_{\delta} \to \varphi \) quando \( \delta \to 0 \) e per fare ciò dimostriamo che \( (\varphi_{\delta})_{\delta>0} \) è uniformemente equicontinua in \( \overline{\Omega} \) dimostrando che sono uniformemente Holder continue e applicando Arzelà-Ascoli.

Per dimostrare la precompatezza dimostriamo che \( (H_{\delta}^1)_{\delta} \) è uniformemente Holder continua (la stessa argomentazione è valida anche per \(H_{\delta}^2\) e \( H_{\delta}^3\)).
Esiste quindi \(C >0 \) e \( \alpha >0\), indipendenti da \( \delta\), tale che per ogni \(x,y \) abbiamo che
\[ \left| H_{\delta}^1(x) - H_{\delta}^1(y) \right| \leq C d_{\Omega}(x,y)^{\alpha} \]
dove \(d_{\Omega}(x,y) \) è la lunghezza del più corto cammino tra \( x\) e \(y\) in \( \overline{\Omega}\).

Assumiamo che \(x,y\) sono vicini altrimenti non c'è nulla da dimostrare (Perché?). Abbiamo che
\[ H_{\delta}^1(x) - H_{\delta}^1(y) = \mathbb{P}_{\Omega_{\delta}}\{ \{a_1,x\} \parallel_w A_1 \} - \mathbb{P}_{\Omega_{\delta}}\{ \{a_1,y\} \parallel_w A_1 \}\]
usando che \(P(A)-P(B) = P(A \setminus B) - P(B \setminus A) \) otteniamo che
\[ = \mathbb{P}_{\Omega_{\delta}}\{ \{a_1,x \parallel_w A_1\} \setminus \{a_1,y \parallel_w A_1\} \} - \mathbb{P}_{\Omega_{\delta}}\{ \{a_1,y \parallel_w A_1\} \setminus \{a_1,x \parallel_w A_1\} \} \]

Tutta la parte in grassetto qui sotto non la capisco

Notiamo che l'evento \(E_1(x,y) = \{a_1,x \parallel_w A_1\} \setminus \{a_1,y \parallel_w A_1\} \) quando accade implica l'esistenza di un cammino bianco tra \(A_2\) e \(A_3\) passando tra \(x\) e \(y\) e un cammino nero da \(A_1\) a \(A_1\) separando \(x\) e \(y\). Ciascuno di questi cammini implica che un cammino bianco o nero va da un cerchio "microscopico" di raggio \(d_{\Omega}(x,y) \) ad un cerchio "macroscopico" di raggio \( \operatorname{dist}( \{x,y\} , A_j ) \) per \(j=1,2,3\). Con un argomento di topologia, almeno uno dei cerchi macroscopici è "grande" ovvero più grandi di un \( \epsilon \) uniforme e possiamo limitare la probabilità grazie alla stima di Russo-Seymour-Welsh. Quindi otteniamo che
\[ \mathbb{P}_{\Omega_{\delta}}(E_1(x,y)) \leq C d_{\Omega}(x,y)^{\alpha} \] dove \(C,\alpha > 0 \) non dipendono da \( \delta \) e per simmetria deduciamo la Holder continuità uniforme di \( H_{\delta}^1 \).